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यदि दो शंकुओं की ऊँचाइयों का अनुपात $11: 9$ है और उनके व्यासों का अनुपात $6: 11$ है, तो उनके आयतनों का अनुपात क्या है?

$11: 3$

$11: 4$

$3: 11$

$4: 11$

Correct Answer

📐 MA • Math अनुपात विधिMathematicsMensuration

$4: 11$

Quick Summary:

चूँकि आयतनों का अनुपात $V_1: V_2 = (r_1/r_2)^2 \times (h_1/h_2)$ होता है, इसलिए बस व्यास के अनुपात का वर्ग करें और ऊँचाई के अनुपात से गुणा करें: $(6/11)^2 \times (11/9) = (36/121) \times (11/9) = 4/11$ ।

📐MAMath Solutionअनुपात विधि

📋 Given

दो शंकुओं की ऊँचाइयों का अनुपात 11: 9 है, और व्यासों का अनुपात 6: 11 है।

🔢 Formula Used

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 hV=31​πr2h

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छात्र अक्सर व्यास के अनुपात को सीधे त्रिज्या के अनुपात के रूप में उपयोग करते हैं, आयतन के सूत्र में त्रिज्या पद का वर्ग करना भूल जाते हैं, या वे अनुपातों के क्रम को मिला देते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

अनुपात की पहचान करें

दी गई ऊँचाइयों का अनुपात $h_1: h_2 = 11: 9$ और व्यासों का अनुपात $d_1: d_2 = 6: 11$ है। चूँकि व्यासों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है, इसलिए $r_1: r_2 = 6: 11$ है।

h1h2=119,r1r2=611\frac{h_1}{h_2} = \frac{11}{9}, \frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{11}h2​h1​​=911​,r2​r1​​=116​

आयतन के सूत्र का प्रयोग करें

शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है। आयतनों का अनुपात इस प्रकार परिकलित किया जाता है $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = (\frac{r_1}{r_2})^2 \times (\frac{h_1}{h_2})$ ।

V1V2=(r1r2)2×(h1h2)\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)V2​V1​​=(r2​r1​​)2×(h2​h1​​)

गणना करें

अनुपात व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें: $(\frac{6}{11})^2 \times \frac{11}{9} = \frac{36}{121} \times \frac{11}{9}$ ।

36×11121×9=411\frac{36 \times 11}{121 \times 9} = \frac{4}{11}121×936×11​=114​

✅

D सही है क्योंकि दोनों शंकुओं के आयतनों का परिकलित अनुपात 4:11 है।

Core Concepts Used

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त्रि-आयामी ठोसों का क्षेत्रमिति अनुपात और समानुपात शंकु का आयतन

💡 EXAM TIP

क्षेत्रफलों या आयतनों का अनुपात ज्ञात करने के लिए रैखिक आयामों का वर्ग या घन करने की यह अवधारणा ज्यामिति में सार्वभौमिक है; हमेशा याद रखें कि $\text{क्षेत्रफल} \propto (\text{रैखिक})^2$ और $\text{आयतन} \propto (\text{रैखिक})^3$ होता है।

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