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MathematicsPrevious Year Paper 2024

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निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए: $\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} + \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}$

$2 \sec \theta$

$1 + 2 \sin \theta$

$2 \sin \theta$

$2 \cos \theta$

Correct Answer

📐 MA • Math बीजगणितीय सरलीकरणMathematicsPrevious Year Paper 2024

$2 \sec \theta$

Quick Summary:

एक सरल कोण जैसे $\theta = 0°$ के साथ परीक्षण करें। व्यंजक $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2$ हो जाता है। विकल्प परिणाम देते हैं: A) $2\sec(0°) = 2$ , B) $1+0=1$ , C) $0$ , D) $2$ । A और D दोनों मेल खाते हैं, लेकिन सही पहचान की पहचान करने के लिए बीजगणितीय रूप को सरल बनाएं।

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📐MAMath Solutionबीजगणितीय सरलीकरण

📋 Given

व्यंजक है $\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ $+ \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}$

🔢 Formula Used

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,sec⁡θ=1cos⁡θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}sin2θ+cos2θ=1,secθ=cosθ1​

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⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर हर $(1+\sin \theta)^2$ का विस्तार गलत तरीके से करते हैं या मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ को भूल जाते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करना

भिन्नों को जोड़ने के लिए, उभयनिष्ठ हर $(1+\sin \theta)(\cos \theta)$ ज्ञात करें।

cos⁡2θ+(1+sin⁡θ)2cos⁡θ(1+sin⁡θ)\frac{\cos^2 \theta + (1+\sin \theta)^2}{\cos \theta (1+\sin \theta)}cosθ(1+sinθ)cos2θ+(1+sinθ)2​

अंश का विस्तार करना

$(1+\sin \theta)^2$ का विस्तार $1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta$ के रूप में करें।

cos⁡2θ+1+2sin⁡θ+sin⁡2θcos⁡θ(1+sin⁡θ)\frac{\cos^2 \theta + 1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)}cosθ(1+sinθ)cos2θ+1+2sinθ+sin2θ​

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लागू करना

अंश को सरल बनाने के लिए सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करें।

(1)+1+2sin⁡θcos⁡θ(1+sin⁡θ)=2+2sin⁡θcos⁡θ(1+sin⁡θ)\frac{(1) + 1 + 2\sin \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} = \frac{2 + 2\sin \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)}cosθ(1+sinθ)(1)+1+2sinθ​=cosθ(1+sinθ)2+2sinθ​

अंतिम सरलीकरण

अंश से 2 कॉमन लें और $(1+\sin \theta)$ पद को काट दें।

2(1+sin⁡θ)cos⁡θ(1+sin⁡θ)=2cos⁡θ=2sec⁡θ\frac{2(1+\sin \theta)}{\cos \theta (1+\sin \theta)} = \frac{2}{\cos \theta} = 2\sec \thetacosθ(1+sinθ)2(1+sinθ)​=cosθ2​=2secθ

✅

A सही है क्योंकि दिए गए व्यंजक का बीजगणितीय सरलीकरण $2\sec \theta$ की ओर ले जाता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बीजगणितीय भिन्न योग पाइथागोरस सर्वसमिका

💡 EXAM TIP

उभयनिष्ठ हर का उपयोग करके त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने की यह अवधारणा कैलकुलस के लिए आधारभूत है, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय एकीकरण और अवकलन से निपटते समय।

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