$ 0.\overline{512} $ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $ p $ और $ q $ पूर्णांक हैं और $ q
eq 0

Question

$ 0.\overline{512} $ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $ p $ और $ q $ पूर्णांक हैं और $ q 
eq 0 $ है।

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is A: $\frac{512}{999}$. शुद्ध आवर्ती दशमलव के लिए जिसमें 'n' पुनरावृत्त अंक हों, अंश में अंकों को लिखें और हर में 'n' नौ लिखें।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: शुद्ध आवर्ती दशमलव के लिए जिसमें 'n' पुनरावृत्त अंक हों, अंश में अंकों को लिखें और हर में 'n' नौ लिखें।

Formula Used: $$x = \frac{p}{q} = \frac{	ext{पुनरावृत्त भाग}}{10^n - 1}$$

Given: आवर्ती दशमलव संख्या x = 0.512 (512 पर बार)

Steps: चर को परिभाषित करें: माना $x$ आवर्ती दशमलव $0.\overline{512}$ है। इसका अर्थ है $x = 0.512512512...$. 10 की घात से गुणा करें: चूँकि बार के नीचे 3 पुनरावृत्त अंक हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को $10^3 = 1000$ से गुणा करें।. मूल समीकरण को घटाएं: दशमलव भाग को समाप्त करने के लिए $1000x = 512.512512...$ में से समीकरण $x = 0.512512...$ को घटाएं।. x के लिए हल करें: भिन्न रूप प्राप्त करने के लिए परिणामी समीकरण $999x = 512$ को सरल करें।

Answer: A सही है क्योंकि आवर्ती दशमलव $0.\overline{512}$ पुनरावृत्त अनुक्रम को उतने ही नौ के ऊपर रखकर सीधे भिन्न $\frac{512}{999}$ में परिवर्तित हो जाता है जितने कि पुनरावृत्त अंक हैं।

Exam Tip: यह अवधारणा गुणोत्तर श्रेणी को समझने का एक आधार है जहाँ $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ होता है, क्योंकि आवर्ती दशमलव अनिवार्य रूप से अनंत गुणोत्तर श्रेणी होते हैं।

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