यदि एक घनाभ का आयतन $ 3x^2 - 27 $ है, तो इसकी संभावित विमाएँ हैं :

Question

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: $3, x - 3, x + 3$. उभयनिष्ठ पद 3 को बाहर निकालें, फिर वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a² - b²) = (a - b)(a + b) का उपयोग करके विमाओं को 3, (x - 3), और (x + 3) के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: उभयनिष्ठ पद 3 को बाहर निकालें, फिर वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a² - b²) = (a - b)(a + b) का उपयोग करके विमाओं को 3, (x - 3), और (x + 3) के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

Formula Used: $$V = l 	imes b 	imes h$$

Given: एक घनाभ का आयतन बीजीय व्यंजक 3x² - 27 द्वारा दिया गया है।

Steps: गुणनखंडन: आयतन व्यंजक $3x^2 - 27$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड की पहचान करके शुरुआत करें। हम $3(x^2 - 9)$ प्राप्त करने के लिए $3$ को बाहर निकालते हैं।. सर्वसमिका लागू करें: वर्गों के अंतर की सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करें जहाँ $a=x$ और $b=3$ है।. परिणाम: इन्हें मिलाकर, व्यंजक $3(x - 3)(x + 3)$ बनता है। चूंकि घनाभ का आयतन $l 	imes b 	imes h$ होता है, इसलिए विमाएँ $3, (x - 3),$ और $(x + 3)$ हैं।

Answer: C सही है क्योंकि व्यंजक $3x^2 - 27$ का गुणनखंडन $3(x - 3)(x + 3)$ है, जो घनाभ की तीन विमाओं को दर्शाता है।

Exam Tip: बहुपदों के गुणनखंडन की यह अवधारणा ज्यामिति में अज्ञात विमाओं को ज्ञात करने और कलन (Calculus) में आयतन फलनों के स्थिर बिंदु (stationary points) ज्ञात करने के लिए महत्वपूर्ण है।

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