$ (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = ? $, निम्नलिखित में से कौन सा $? $ के स्थान पर आना चाहिए ताकि संबंध हमेश

Question

$ (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = ? $, निम्नलिखित में से कौन सा $? $ के स्थान पर आना चाहिए ताकि संबंध हमेशा सत्य रहे?

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: $3(a - b)(b - c)(c - a)$. $a=2, b=1, c=0$ जैसे मानों के साथ परीक्षण करें। तब $(2-1)^3 + (1-0)^3 + (0-2)^3 = 1^3 + 1^3 + (-2)^3 = 1 + 1 - 8 = -6$ होगा। सही सूत्र का मान भी $-6$ आना चाहिए: $3(2-1)(1-0)(0-2) = 3(1)(1)(-2) = -6$.

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: $a=2, b=1, c=0$ जैसे मानों के साथ परीक्षण करें। तब $(2-1)^3 + (1-0)^3 + (0-2)^3 = 1^3 + 1^3 + (-2)^3 = 1 + 1 - 8 = -6$ होगा। सही सूत्र का मान भी $-6$ आना चाहिए: $3(2-1)(1-0)(0-2) = 3(1)(1)(-2) = -6$.

Formula Used: $$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz 	ext{ यदि } x + y + z = 0$$

Given: एक व्यंजक (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3.

Steps: पदों के योग की जाँच करें: मान लीजिए $x = (a - b)$, $y = (b - c)$, और $z = (c - a)$। योग $x + y + z$ की गणना करें।. बीजगणितीय सर्वसमिका लागू करें: चूंकि तीनों पदों का योग शून्य है, हम सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ का उपयोग करते हैं।

Answer: C सही है क्योंकि क्यूब्स के योग की सर्वसमिका के अनुसार, जहाँ आधारों का योग शून्य होता है, परिणाम तीनों पदों के गुणनफल के तीन गुने के बराबर होता है।

Exam Tip: यह सर्वसमिका प्रतियोगी परीक्षाओं में जटिल सममित (symmetric) व्यंजकों को जल्दी से सरल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक मूलभूत गुण है।

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Option A: $2(a - b)(b - c)(c - a)$

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Option B: $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

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Option D: $(a - b)(b - c)(c - a)$

Correct Answer

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