$\sqrt{2}$, $ 3^{1/3}$, $ 4^{1/4}$ में सबसे बड़ी संख्या है:

Question

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: $3^{1/3}$. भिन्नात्मक घातांकों (2, 3, और 4) के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो 12 है। प्रत्येक संख्या को 12 की घात तक बढ़ाएं और परिणामी पूर्णांकों की तुलना करें।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: भिन्नात्मक घातांकों (2, 3, और 4) के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो 12 है। प्रत्येक संख्या को 12 की घात तक बढ़ाएं और परिणामी पूर्णांकों की तुलना करें।

Formula Used: $$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

Given: तुलना करने के लिए तीन संख्याएँ: $\sqrt{2}$, $3^{1/3}$, और $4^{1/4}$।

Steps: करणी (Radicals) को भिन्नात्मक घातांक में बदलें: $\sqrt{2}$ को $2^{1/2}$ के रूप में लिखें, $3^{1/3}$ वैसा ही रहेगा, और $4^{1/4}$ को यदि वांछित हो तो सरल किया जा सकता है, लेकिन हम मूल मानों के साथ आगे बढ़ेंगे।. हरों का LCM ज्ञात करें: हर 2, 3, और 4 हैं। उनका LCM 12 है।. प्रत्येक पद को 12 की घात तक बढ़ाएं: गणना करें: $(2^{1/2})^{12} = 2^6 = 64$, $(3^{1/3})^{12} = 3^4 = 81$, और $(4^{1/4})^{12} = 4^3 = 64$।. परिणामों की तुलना करें: 64, 81, और 64 मानों की तुलना करने पर, स्पष्ट रूप से 81 सबसे बड़ी संख्या है।

Answer: C सही है क्योंकि $3^{1/3}$ गणना की गई घातों में सबसे बड़े मान (81) के अनुरूप है।

Exam Tip: मूलों (roots) के LCM तक घात बढ़ाने की यह विधि प्रतियोगी परीक्षाओं में करणी और सर्ड्स की तुलना करने के लिए मानक दृष्टिकोण है।

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Option A: सभी बराबर हैं

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Option B: $4^{1/4}$

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Option D: $\sqrt{2}$

Correct Answer

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