यदि $ x = 5 + 2\sqrt{6}$ है, तो $\frac{x - 1}{\sqrt{x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Question

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is D: $2\sqrt{2}$. x को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें: $x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$। तब, $\sqrt{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ और $1/\sqrt{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$। व्यंजक $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ हो जाता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: x को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें: $x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$। तब, $\sqrt{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ और $1/\sqrt{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$। व्यंजक $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ हो जाता है।

Formula Used: $$x = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$$

Given: x = 5 + 2√6

Steps: x को एक वर्ग के रूप में दर्शाएं: पहचानें कि $5 + 2\sqrt{6}$ को $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2})$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः, $x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ है।. x का वर्गमूल ज्ञात करें: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें $\sqrt{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।. 1/sqrt(x) की गणना करें: व्यंजक का परिमेयकरण करें: $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} 	imes \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$।. अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन करें: $\frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ की गणना करें। मान प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$।

Answer: D सही है क्योंकि $\frac{x-1}{\sqrt{x}}$ का मूल्यांकन करने पर $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है, जिसका सरलीकरण करने पर परिणाम $2\sqrt{2}$ आता है।

Exam Tip: इस प्रकार का सरलीकरण अक्सर बीजगणित और त्रिकोणमिति की समस्याओं में दिखाई देता है जहाँ द्विपद करणी (binomial surds) को उलटने या वर्ग करने की आवश्यकता होती है।

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Option A: $\sqrt{2}$

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Option B: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

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Option C: $3\sqrt{2}$

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