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CivilStructural Mechanics-II

एक स्थिर बीम (fixed beam) जिस पर $l$ विस्तार (span) की पूरी लंबाई पर $w$ kN/m का एकसमान वितरित भार (UDL) लगा है, इस बीम के लिए स्थिर सिरे आघूर्ण (fixed end moment) का समीकरण है

$\frac{wl^2}{12}$

$\frac{Wl}{4}$

$\frac{Wl}{8}$

$\frac{wl^2}{8}$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतCivilStructural Mechanics-II

$\frac{wl^2}{12}$

Quick Summary:

दोनों सिरों पर स्थिर और अपनी पूरी लंबाई $l$ पर प्रति इकाई लंबाई $w$ का एकसमान वितरित भार (UDL) वहन करने वाली बीम के लिए, सिरों पर ढलान को शून्य बनाए रखने के लिए स्थिर सिरे आघूर्ण (FEM) उत्पन्न होते हैं। अध्यारोपण के सिद्धांत या आघूर्ण-क्षेत्र विधि (moment-area method) का उपयोग करते हुए, दोनों सिरों पर स्थिर सिरे आघूर्ण का मान $\frac{wl^2}{12}$ निर्धारित किया गया है।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$M_{FEM} = \frac{wl^2}{12}$ — UDL के लिए स्थिर सिरे आघूर्ण

$M_{max} = \frac{wl^2}{24}$ — केंद्र पर अधिकतम सैगिंग आघूर्ण

⚙️ Working Principle

सिरों के स्थिर होने के कारण, बीम द्वितीय श्रेणी तक स्थैतिक रूप से अनिश्चित (statically indeterminate) होती है। सिरों पर उत्पन्न आंतरिक आघूर्ण उस घूर्णन का विरोध करते हैं जो अन्यथा UDL के कारण उत्पन्न होता। विशेष रूप से, स्थिर सिरे आघूर्ण $M_{AB} = M_{BA} = \frac{wl^2}{12}$ यह सुनिश्चित करता है कि दोनों सिरों पर ढलान शून्य रहे, जो क्लैम्प सपोर्ट की विस्थापन सीमा स्थिति को पूरा करता है।

📌 Key Points

▸
एक स्थिर बीम द्वितीय श्रेणी की स्थैतिक रूप से अनिश्चित संरचना होती है।
▸
हॉगिंग आघूर्ण (hogging moment) सिरों पर होता है, जबकि सैगिंग आघूर्ण केंद्र पर होता है।
▸
सिरों पर आंतरिक प्रतिरोध घूर्णन और विक्षेपण दोनों को रोकता है।
▸
$\frac{wl^2}{12}$ मान स्लोप-डिफ्लेक्शन विधि या कैस्टिलियानो के प्रमेय से व्युत्पन्न एक मानक परिणाम है।

✅ Advantages

▸
साधारण रूप से समर्थित बीम की तुलना में उच्च कठोरता।
▸
मध्य-स्पैन पर अधिकतम विक्षेपण को कम करता है।

❌ Disadvantages / Limitations

▸
सपोर्ट सेटलमेंट के प्रति संवेदनशील।
▸
यदि विस्तार बाधित हो तो तापीय प्रतिबल उत्पन्न हो सकते हैं।

🛠️ Applications / Uses

▸
दृढ़ फ्रेम निर्माण।
▸
प्रबलित कंक्रीट इमारतों में निरंतर स्लैब सिस्टम।

📄 Additional Information

▸
केंद्र पर केंद्रित भार $W$ के लिए, FEM $\frac{Wl}{8}$ होता है।
▸
विकल्प D ( $\frac{wl^2}{8}$ ) UDL के साथ साधारण रूप से समर्थित बीम के लिए अधिकतम बेंडिंग मोमेंट है, जो एक सामान्य भ्रमित करने वाला विकल्प है।

📊 Diagram / Illustration

✅

A सही है — $l$ विस्तार पर $w$ UDL वाली बीम के लिए स्थिर सिरे आघूर्ण की गणना $\frac{wl^2}{12}$ के रूप में की जाती है।

Core Concepts Used

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स्थैतिक रूप से अनिश्चित संरचनाएं स्थिर सिरे आघूर्ण स्लोप-डिफ्लेक्शन विधि

💡 EXAM TIP

हमेशा 'स्थिर सिरे आघूर्ण' (जो $\frac{wl^2}{12}$ है) और साधारण रूप से समर्थित बीम के 'अधिकतम बेंडिंग मोमेंट' (जो $\frac{wl^2}{8}$ है) के बीच अंतर को समझें ताकि प्रतियोगी परीक्षाओं में भ्रम से बचा जा सके।

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