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CivilStructural Mechanics-II

l लंबाई वाली एक फिक्स्ड बीम जिसके मध्य बिंदु पर W kN का पॉइंट लोड लगा है, इस बीम के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट का समीकरण क्या है?

$\frac{wl^2}{12}$

$\frac{Wl}{4}$

$\frac{Wl}{8}$

$\frac{wl^2}{8}$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical संकल्पना और सिद्धांतCivilStructural Mechanics-II

$\frac{Wl}{8}$

Quick Summary:

लंबाई $l$ की फिक्स्ड-फिक्स्ड बीम, जिस पर मध्य में $W$ का पॉइंट लोड लगा हो, के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट्स ( $M_A$ और $M_B$ ) सपोर्ट पर घूर्णी अवरोध (rotational restraint) के कारण उत्पन्न होते हैं। कंसिस्टेंट डिफॉर्मेशन प्रमेय या मोमेंट-एरिया विधि का उपयोग करके, फिक्स्ड एंड मोमेंट की गणना $\frac{Wl}{8}$ के रूप में की जाती है।

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⚙️TETechnical Solutionसंकल्पना और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$M_F = \frac{Wl}{8}$ — केंद्रीय पॉइंट लोड के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट

$M_F = \frac{wl^2}{12}$ — यूनिफॉर्मली डिस्ट्रीब्यूटेड लोड (UDL) के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट

⚙️ Working Principle

फिक्स्ड सिरों वाली एक स्टेटिकली इनडिटरमिनेट बीम में, सपोर्ट रोटेशन को रोकते हैं। केंद्र पर पॉइंट लोड $W$ लगाने से नीचे की ओर विक्षेपण (deflection) होता है। फिक्स्ड सिरे अवरोधक मोमेंट्स $M_F$ उत्पन्न करते हैं जो इस रोटेशन का विरोध करते हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि सपोर्ट पर स्लोप शून्य रहे। समरूपता के अनुसार, दोनों सिरों पर मोमेंट्स बराबर होते हैं, और संतुलन के लिए आंतरिक प्रतिरोध मोमेंट को बाहरी रूप से प्रेरित बेंडिंग मोमेंट का प्रतिकार करना होता है।

📌 Key Points

▸
फिक्स्ड बीम्स दूसरी डिग्री तक स्टेटिकली इनडिटरमिनेट होती हैं।
▸
केंद्रीय पॉइंट लोड के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट फ्लेक्सुरल रिजिडिटी (EI) से स्वतंत्र होता है, जब तक कि बीम एकसमान हो।
▸
बीम के केंद्र पर बेंडिंग मोमेंट $\frac{Wl}{8}$ होता है।

✅ Advantages

▸
सिंपली सपोर्टेड बीम की तुलना में अधिक कठोरता।
▸
अधिकतम मिड-स्पैन डिफ्लेक्शन में उल्लेखनीय कमी।

❌ Disadvantages / Limitations

▸
सपोर्ट सेटलमेंट के प्रति संवेदनशील, जो अतिरिक्त तनाव उत्पन्न करता है।
▸
तापमान परिवर्तन आंतरिक थर्मल तनाव पैदा करते हैं।

🛠️ Applications / Uses

▸
बहुमंजिला इमारतों में रिजिडली कनेक्टेड फ्रेम।
▸
निरंतर बीम ब्रिज डेक।

📄 Additional Information

▸
विकल्प A ( $\frac{wl^2}{12}$ ) UDL के अधीन बीम के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट है।
▸
विकल्प B ( $\frac{Wl}{4}$ ) केंद्रीय पॉइंट लोड के साथ सिंपली सपोर्टेड बीम के लिए अधिकतम बेंडिंग मोमेंट है।
▸
विकल्प D ( $\frac{wl^2}{8}$ ) UDL के साथ सिंपली सपोर्टेड बीम के लिए अधिकतम बेंडिंग मोमेंट है।

📊 Diagram / Illustration

✅

C सही है — केंद्रीय पॉइंट लोड $W$ के साथ लंबाई $l$ की बीम के लिए फिक्स्ड एंड मोमेंट $\frac{Wl}{8}$ होता है।

Core Concepts Used

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स्टैटिकली इनडिटरमिनेट संरचनाएं फिक्स्ड एंड मोमेंट्स संरचनात्मक संतुलन

💡 EXAM TIP

हमेशा 'W' (पॉइंट लोड) और 'w' (प्रति इकाई लंबाई लोड) के बीच अंतर करें क्योंकि परीक्षक अक्सर इनका उपयोग पॉइंट लोड और UDL सूत्रों के बीच अंतर करने के लिए करते हैं।

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