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मध्य कोटि (mid ordinate) की लंबाई का सूत्र __________ द्वारा दिया जा सकता है।

$M = 2R \times \tan \frac{∆}{2}$

$M = 2 R \times \sin \frac{∆}{2}$

$M = R ( s e c \frac{∆}{2} - 1 )$

$M = R ( 1 - \cos \frac{∆}{2} )$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतCivilAdvanced Survey

M=R(1-cos∆2)

Quick Summary:

एक साधारण वृत्ताकार वक्र (circular curve) की मध्य कोटि ( $M$ ) लंबी जीवा (long chord) के मध्य बिंदु से वक्र के मध्य बिंदु तक की कोटि होती है। इसे वक्र का वर्स्ड साइन (versed sine) भी कहा जाता है। मध्य कोटि की लंबाई की गणना के लिए सही व्यंजक $M = R\left(1 - \cos\frac{\Delta}{2}\right)$ है।

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⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$M = R\left(1 - \cos\frac{\Delta}{2}\right)$ — मध्य कोटि की लंबाई

$T = R \tan\frac{\Delta}{2}$ — स्पर्शरेखा की लंबाई

$E = R\left(\sec\frac{\Delta}{2} - 1\right)$ — शीर्ष दूरी (बाहरी दूरी)

$L = R \times \Delta \times \frac{\pi}{180°$ — वक्र की लंबाई

$L_c = 2R \sin\frac{\Delta}{2}$ — लंबी जीवा की लंबाई

⚙️ Working Principle

एक साधारण वृत्ताकार वक्र में, वक्र के केंद्र $O$ से वक्र के मध्य बिंदु तक की दूरी त्रिज्या $R$ होती है। केंद्र $O$ से लंबी जीवा के मध्य बिंदु तक की दूरी $R\cos\left(\frac{\Delta}{2}\right)$ होती है। इसे त्रिज्या में से घटाने पर $M = R - R\cos\left(\frac{\Delta}{2}\right) = R\left(1 - \cos\frac{\Delta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

📌 Key Points

▸
मध्य कोटि लंबी जीवा के मध्य बिंदु और वक्र के शीर्ष के बीच की लंबवत दूरी है।
▸
मध्य कोटि $M$ को आधे विक्षेपण कोण का वर्स्ड साइन भी कहा जाता है।

🛠️ Applications / Uses

▸
क्षेत्र सर्वेक्षण में लंबी जीवा से ऑफसेट विधि का उपयोग करके साधारण वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करना।
▸
हाईवे इंजीनियरिंग में क्षैतिज वक्रों पर दृष्टि दूरी की आवश्यकताओं का निर्धारण करना।

📄 Additional Information

▸
विकल्प A ( $2R\tan\frac{\Delta}{2}$ ) गलत है; स्पर्शरेखा की लंबाई $R\tan\frac{\Delta}{2}$ होती है।
▸
विकल्प B ( $2R\sin\frac{\Delta}{2}$ ) लंबी जीवा ( $L_c$ ) की कुल लंबाई को दर्शाता है।
▸
विकल्प C ( $R(\sec\frac{\Delta}{2}-1)$ ) शीर्ष दूरी या बाहरी दूरी ( $E$ ) को दर्शाता है।

📊 Diagram / Illustration

✅

D सही है — मध्य कोटि की लंबाई का सूत्र $M = R\left(1 - \cos\frac{\Delta}{2}\right)$ है।

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