दो संख्याओं का HCF, जिनमें से प्रत्येक तीन अंकों की है, 19 है ... | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

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दो संख्याओं का HCF, जिनमें से प्रत्येक तीन अंकों की है, 19 है और उनका LCM 760 है। ऐसे जोड़ों की संख्या है:

Correct Answer

📐 MA • Math अनुपात विधिMathematicsNumber System

Quick Summary:

LCM को HCF से विभाजित करके सह-अभाज्य गुणनखंडों (coprime factors) का गुणनफल प्राप्त करें ( $a \times b = 760/19 = 40$ )। फिर सह-अभाज्य गुणनखंडों $(a, b)$ के ऐसे जोड़े खोजें कि $19a$ और $19b$ दोनों 100 और 999 के बीच हों।

📐MAMath Solutionअनुपात विधि

📋 Given

HCF = 19, LCM = 760, और दोनों संख्याएँ तीन अंकों की पूर्णांक होनी चाहिए।

🔢 Formula Used

LCM=HCF×a×bLCM = HCF \times a \times bLCM=HCF×a×b

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर सह-अभाज्य जोड़े $(a, b)$ तो खोज लेते हैं, लेकिन यह जाँच करना भूल जाते हैं कि परिणामी संख्याएँ $(19a, 19b)$ वास्तव में तीन अंकों की सीमा (100 से 999) को संतुष्ट करती हैं या नहीं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

सह-अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात करें

चूँकि $LCM = HCF \times a \times b$ जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं, हमारे पास $40 = a \times b$ है।

a×b=76019=40a \times b = \frac{760}{19} = 40a×b=19760​=40

सभी सह-अभाज्य जोड़ों $(a, b)$ की पहचान करें

40 के गुणनखंड जोड़े $(1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)$ हैं। हमें केवल उन्हीं को चुनना होगा जो सह-अभाज्य हैं।

(a,b)∈{(1,40),(5,8)}(a, b) \in \{(1, 40), (5, 8)\}(a,b)∈{(1,40),(5,8)}

तीन अंकों की बाधा का परीक्षण करें

जोड़े $(1, 40)$ के लिए, संख्याएँ $19 \times 1 = 19$ (3-अंकीय नहीं) और $19 \times 40 = 760$ हैं। जोड़े $(5, 8)$ के लिए, संख्याएँ $19 \times 5 = 95$ (3-अंकीय नहीं) और $19 \times 8 = 152$ हैं।

19×1=19<10019 \times 1 = 19 < 10019×1=19<100

निष्कर्ष

किसी भी जोड़े के परिणामस्वरूप दोनों संख्याएँ तीन अंकों की नहीं होती हैं। अतः, ऐसे जोड़ों की संख्या 0 है।

n=0n = 0n=0

✅

A सही है क्योंकि 40 के गुणनखंडों द्वारा बनाए गए जोड़ों में से कोई भी इस आवश्यकता को पूरा नहीं करता है कि दोनों संख्याएँ तीन अंकों की होनी चाहिए।

Core Concepts Used

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HCF और LCM गुण सह-अभाज्य गुणनखंड बाधा संतुष्टि (Constraint satisfaction)

💡 EXAM TIP

इस तर्क का उपयोग अक्सर संख्या सिद्धांत और बीजगणित की समस्याओं में किया जाता है; प्राथमिक बीजीय समीकरण को हल करने के बाद हमेशा सीमाओं (जैसे 'तीन अंक') को सत्यापित करें।

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