मैट्रिक्स [Z] और [Y] विकर्ण (diagonal) होते हैं यदि

Question

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B: तत्वों के बीच कोई आपसी युग्मन (mutual coupling) न हो

Explanation & Concepts:
एक मैट्रिक्स तब विकर्ण होता है जब उसके सभी विकर्ण-बाहरी (off-diagonal) तत्व शून्य हों, जो विभिन्न सिस्टम घटकों के बीच अंतःक्रिया के न होने का प्रतिनिधित्व करते हैं। पावर सिस्टम नेटवर्क विश्लेषण में, यदि सर्किट शाखाओं या नोड्स के बीच कोई आपसी युग्मन नहीं है, तो प्रतिबाधा मैट्रिक्स [Z] और प्रवेश्यता मैट्रिक्स [Y] में केवल स्व-प्रतिबाधा (self-impedances) और स्व-प्रवेश्यता (self-admittances) होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

Working Principle: एक युग्मित नेटवर्क में, एक शाखा में उत्तेजना आपसी अधिष्ठापन (mutual inductance) या धारिता (capacitance) के माध्यम से दूसरी शाखा में वोल्टेज या करंट प्रेरित करती है, जिससे विकर्ण-बाहरी प्रविष्टियाँ $Z_{ij}$ या $Y_{ij}$ भर जाती हैं जहाँ $i 
eq j$ है। आपसी युग्मन के बिना, सिस्टम समीकरण असंबद्ध हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि एक नोड में बदलाव का दूसरों पर सामान्य संदर्भ के अलावा कोई सीधा प्रभाव नहीं पड़ता है, जिससे सभी $i 
eq j$ के लिए $Z_{ij} = 0$ सुनिश्चित होता है।

Key Formulas: $[V] = [Z][I]$ — मैट्रिक्स रूप में ओम का नियम जहाँ $[Z]$ विकर्ण है यदि तत्व असंबद्ध हैं; $[I] = [Y][V]$ — प्रवेश्यता मैट्रिक्स संबंध जहाँ $[Y] = [Z]^{-1}$

Key Points: एक विकर्ण मैट्रिक्स का अर्थ है कि सिस्टम को स्वतंत्र उप-सिस्टम में विभाजित किया जा सकता है।; आपसी युग्मन क्रॉस-टर्म्स का परिचय देता है जो तत्वों के बीच चुंबकीय या विद्युत क्षेत्र की अंतःक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हैं।; पावर ट्रांसमिशन लाइन मॉडलिंग में, भौतिक निकटता के कारण आपसी युग्मन मौजूद होता है, जिससे [Z] मैट्रिक्स आमतौर पर सघन या विरल होता है लेकिन शायद ही कभी पूरी तरह विकर्ण होता है।; [Z] मैट्रिक्स [Y] मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है; यदि एक विकर्ण है, तो दूसरे को भी विकर्ण होना चाहिए।

Advantages: पावर फ्लो विश्लेषण में गणना को सरल बनाता है।; क्षणिक स्थिरता अध्ययन के लिए अवकल समीकरणों को अलग (decouple) करता है।; सिस्टम मैट्रिक्स का व्युत्क्रमण और हेरफेर आसान बनाता है।

Disadvantages: वास्तविक उच्च-वोल्टेज पावर नेटवर्क में शायद ही कभी होता है।; आपसी युग्मन की अनदेखी करने से फॉल्ट विश्लेषण और सुरक्षा समन्वय में महत्वपूर्ण त्रुटियां होती हैं।

Applications: सैद्धांतिक नेटवर्क विश्लेषण को सरल बनाना।; गैर-युग्मित ट्रांसमिशन लाइनों की आदर्श मॉडलिंग।; विरल मैट्रिक्स हल करने के लिए कंप्यूटर एल्गोरिदम।

Additional Info: व्यावहारिक पावर सिस्टम में, ट्रांसमिशन लाइनों के बीच आपसी युग्मन सामान्य है, विशेष रूप से एक ही टॉवर पर मल्टी-सर्किट लाइनों के लिए।. विकल्प A गलत है क्योंकि आपसी युग्मन प्रतिबाधा/प्रवेश्यता मैट्रिक्स की विकर्ण-बाहरी स्थितियों में गैर-शून्य मानों को मजबूर करता है।

Answer: B सही है — एक मैट्रिक्स केवल तब विकर्ण होता है जब तत्वों के बीच कोई आपसी युग्मन न हो, जिसका अर्थ है कि सभी विकर्ण-बाहरी घटक $Z_{ij}$ या $Y_{ij}$ (जहाँ $i 
eq j$) शून्य हैं।

Exam Tip: फॉल्ट विश्लेषण के दौरान [Z] और [Y] मैट्रिक्स की समरूपता (symmetry) और विरलता (sparsity) की हमेशा जांच करें; एक सममित मैट्रिक्स रैखिक पारस्परिक नेटवर्क में सामान्य है, जबकि विकर्ण मैट्रिक्स विरल, सममित मैट्रिक्स का एक विशेष मामला है।

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Option A: तत्वों के बीच आपसी युग्मन (mutual coupling) हो

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Option C: पावर सिस्टम वास्तविक न हो

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Option D: पावर सिस्टम फॉल्ट में हो

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