एक ट्रांसमिशन लाइन का प्रसार स्थिरांक (propagation constant) 0.15×10–3 + j1.5×10–3 है। यात्रा करती हुई तरंग (t

Question

एक ट्रांसमिशन लाइन का प्रसार स्थिरांक (propagation constant) 0.15×10–3 + j1.5×10–3 है। यात्रा करती हुई तरंग (traveling wave) की तरंगदैर्ध्य (wavelength) है

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The correct answer is B: $\frac{2\pi}{1.5 	imes 10^{-3}}$. एक ट्रांसमिशन लाइन के प्रसार स्थिरांक को $\gamma = \alpha + j\beta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\alpha$ क्षीणन स्थिरांक (attenuation constant) है और $\beta$ चरण स्थिरांक (phase constant) है। यात्रा करती हुई तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$, चरण स्थिरांक $\beta$ से इस व्यंजक द्वारा संबंधित है: $\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$।

Step-by-Step Solution & Concepts:
एक ट्रांसमिशन लाइन के प्रसार स्थिरांक को $\gamma = \alpha + j\beta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\alpha$ क्षीणन स्थिरांक (attenuation constant) है और $\beta$ चरण स्थिरांक (phase constant) है। यात्रा करती हुई तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$, चरण स्थिरांक $\beta$ से इस व्यंजक द्वारा संबंधित है: $\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$।

Working Principle: जैसे-जैसे एक विद्युत चुम्बकीय तरंग ट्रांसमिशन लाइन में आगे बढ़ती है, वह चरण स्थिरांक $\beta$ द्वारा निर्धारित एक चरण परिवर्तन (phase shift) से गुजरती है। तरंग द्वारा एक पूर्ण चक्र पूरा करने के लिए आवश्यक दूरी (जो $2\pi$ रेडियन का चरण परिवर्तन है) को तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि $\beta$ प्रति इकाई लंबाई में चरण परिवर्तन (रेडियन/मीटर) को दर्शाता है, इसलिए $\lambda$ केवल $\beta$ का व्युत्क्रम अनुपात है।

Key Formulas: $\gamma = \alpha + j\beta$ — प्रसार स्थिरांक की परिभाषा; $\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$ — तरंगदैर्ध्य और चरण स्थिरांक के बीच संबंध

Key Points: प्रसार स्थिरांक एक सम्मिश्र मात्रा (complex quantity) है जहाँ काल्पनिक भाग $\beta$ तरंग के चरण वेग को निर्धारित करता है।; $\beta$ की इकाइयाँ रेडियन प्रति मीटर (rad/m) और $\alpha$ की इकाइयाँ नेपर्स प्रति मीटर (Np/m) होती हैं।; तरंगदैर्ध्य चरण स्थिरांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है: उच्च आवृत्ति वाले सिग्नल आमतौर पर उच्च $\beta$ मान और छोटी तरंगदैर्ध्य के अनुरूप होते हैं।

Advantages: तरंग विश्लेषण के लिए एक सरल गणितीय संबंध प्रदान करता है; लाइन इम्पीडेंस मिलान की गणना के लिए आवश्यक

Disadvantages: एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय ट्रांसमिशन लाइन को मानता है; गैर-समान लाइन ज्यामिति के लिए जिम्मेदार नहीं है

Applications: इम्पीडेंस मैचिंग नेटवर्क को डिजाइन करना; पावर और संचार लाइनों में सिग्नल प्रसार विलंब का निर्धारण करना

Additional Info: दिया गया है $\gamma = 0.15 	imes 10^{-3} + j(1.5 	imes 10^{-3})$, इसलिए काल्पनिक भाग $\beta = 1.5 	imes 10^{-3}$ है।. $\beta$ को सूत्र $\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$ में रखने पर, $\frac{2\pi}{1.5 	imes 10^{-3}}$ प्राप्त होता है।

Answer: B सही है — तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\beta$ प्रसार स्थिरांक का काल्पनिक भाग है।

Exam Tip: हमेशा सुनिश्चित करें कि आप चरण गणना के लिए काल्पनिक भाग ($\beta$) का उपयोग करें, क्योंकि वास्तविक भाग ($\alpha$) केवल सिग्नल के आयाम/क्षीणन को प्रभावित करता है।

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Option A: $\frac{15 	imes 10^{-3}}{2\pi}$

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Option C: $\frac{15 	imes 10^{-3}}{\pi}$

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Option D: $\frac{\pi}{15 	imes 10^{-3}}$

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