एक ठोस लंब वृत्तीय बेलन (solid right circular cylinder) की त्रिज्या 20% कम कर दी जाती है और इसकी ऊँचाई 20% बढ़ा

Question

एक ठोस लंब वृत्तीय बेलन (solid right circular cylinder) की त्रिज्या 20% कम कर दी जाती है और इसकी ऊँचाई 20% बढ़ा दी जाती है। इसके आयतन में कितने प्रतिशत का परिवर्तन होगा?

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The correct answer is A: 23.2% की कमी. बेलन का आयतन उसकी त्रिज्या के वर्ग और उसकी ऊँचाई के समानुपाती होता है। क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों को लागू करने पर, कुल प्रभाव आयतन में 23.2% की कमी है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
बेलन का आयतन उसकी त्रिज्या के वर्ग और उसकी ऊँचाई के समानुपाती होता है। क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों को लागू करने पर, कुल प्रभाव आयतन में 23.2% की कमी है।

Working Principle: दिया गया आयतन $V = \pi r^2 h$ है। यदि त्रिज्या $r$ कारक $(1 - 0.20) = 0.8$ द्वारा बदलती है और ऊँचाई $h$ कारक $(1 + 0.20) = 1.2$ द्वारा बदलती है, तो नया आयतन $V' = \pi (0.8r)^2 (1.2h) = \pi (0.64r^2)(1.2h) = 0.768 V$ होगा। परिवर्तन $1 - 0.768 = 0.232$ है, जो 23.2% की कमी के अनुरूप है।

Key Formulas: $V = \pi r^2 h$ — लंब वृत्तीय बेलन के आयतन का सूत्र; $Net\% = (1 + \frac{a}{100})(1 + \frac{b}{100})(1 + \frac{c}{100}) - 1$ — क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के लिए सामान्य सूत्र

Key Points: आयतन त्रिज्या पर द्विघातीय रूप से निर्भर करता है ($r^2$); आयतन ऊँचाई पर रैखिक रूप से निर्भर करता है ($h$); 20% की कमी का अर्थ 0.8 से गुणा करना है; 20% की वृद्धि का अर्थ 1.2 से गुणा करना है

Applications: आयतन अनुमान के लिए विनिर्माण इंजीनियरिंग; बेलनाकार पाइपों में द्रव गतिकी

Additional Info: स्थिरांक: $\pi \approx 3.14159$. विकल्प B (20% की कमी) एक सामान्य भ्रामक उत्तर है जो त्रिज्या के वर्ग संबंध को अनदेखा करता है।

Answer: A सही है — त्रिज्या के वर्ग कारक के कारण त्रिज्या में कमी आयतन की गणना पर हावी हो जाती है, जिससे कुल 23.2% की कमी आती है।

Exam Tip: जब भी किसी सूत्र में कोई विमा वर्गित (squared) होती है, तो उस पर लागू किसी भी प्रतिशत परिवर्तन को नेट प्रभाव की गणना में भी वर्गित किया जाना चाहिए।

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Option B: 20% की कमी

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Option C: 15.4% की कमी

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Option D: कोई परिवर्तन नहीं

Correct Answer

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