निम्नलिखित में से कौन सा सूत्र रैंकिन के सूत्र (Rankine’s formula) का उपयोग करके स्पर्शरेखीय कोण (tangential a

Question

निम्नलिखित में से कौन सा सूत्र रैंकिन के सूत्र (Rankine’s formula) का उपयोग करके स्पर्शरेखीय कोण (tangential angle) ज्ञात करता है?

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A: $\delta = 1718.9 \frac{C}{R}$ मिनट

Explanation & Concepts:
रैंकिन की स्पर्शरेखीय कोण विधि (जिसे विक्षेपण कोण विधि के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग सर्वेक्षण में सरल वृत्ताकार वक्रों (circular curves) को स्थापित करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है। किसी भी जीवा (chord) के लिए स्पर्शरेखीय कोण (δ) सूत्र $\delta = 1718.9 \frac{C}{R}$ मिनट द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C$ जीवा की लंबाई है और $R$ समान इकाइयों में वक्र की त्रिज्या है।

Working Principle: यह विधि इस ज्यामितीय सिद्धांत पर आधारित है कि स्पर्श बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण (स्पर्शरेखीय कोण), वक्र के केंद्र पर उसी जीवा द्वारा अंतरित कोण के आधे के बराबर होता है। इस कोण को रेडियन में व्यक्त करने पर $\delta = \frac{C}{2R}$ रेडियन प्राप्त होता है। रेडियन को $\frac{180 	imes 60}{\pi} \approx 3437.75$ से गुणा करके मिनटों में परिवर्तित करने पर $\delta = 3437.75 	imes \frac{C}{2R} = 1718.87 \frac{C}{R} \approx 1718.9 \frac{C}{R}$ मिनट प्राप्त होता है।

Key Formulas: $\delta = 1718.9 \frac{C}{R}	ext{ minutes}$ — एकल जीवा के लिए स्पर्शरेखीय कोण; $\Delta_n = \sum \delta_i$ — बिंदु $n$ के लिए कुल विक्षेपण कोण; $\delta = \frac{C}{2R}	ext{ radians}$ — रेडियन में स्पर्शरेखीय कोण

Key Points: रैंकिन की विधि सटीक है और थियोडोलाइट एवं टेप/चेन का उपयोग करके वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करने के लिए सार्वभौमिक रूप से अपनाई जाती है।; वक्र पर किसी भी बिंदु के लिए कुल विक्षेपण कोण उस बिंदु तक के व्यक्तिगत स्पर्शरेखीय कोणों का योग होता है।; वक्र के अंत (स्पर्श बिंदु) के लिए कुल विक्षेपण कोण कुल विक्षेपण कोण के आधे ($\Delta/2$) के बराबर होता है।; अचर गुणांक $1718.9$ सीधे $\frac{180 	imes 60}{2\pi} \approx 1718.87$ से व्युत्पन्न हुआ है।

Advantages: छोटे और लंबे दोनों प्रकार के वक्रों के लिए अत्यधिक सटीक।; ऑफ़सेट विधियों की तुलना में मैदानी कार्य (field work) को बचाता है।

Disadvantages: थियोडोलाइट और कुशल कर्मियों की आवश्यकता होती है।; व्यक्तिगत जीवाओं को मापने में त्रुटियाँ क्रमिक रूप से जमा हो सकती हैं।

Applications: सड़क और रेलवे इंजीनियरिंग में सरल वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करना।; उन वक्रों का संरेखन (alignment) जहाँ उच्च परिशुद्धता की आवश्यकता होती है।

Additional Info: विकल्प B ($\delta = 1718.9 \frac{R}{C}$) जीवा की लंबाई और त्रिज्या के बीच के संबंध को उल्टा करता है।. विकल्प C गलत संख्यात्मक नियतांक ($1719.9$) का उपयोग करता है।. विकल्प D अंश में जीवा की लंबाई $C$ के स्थान पर $\pi$ का उपयोग करता है।

Answer: A सही है — रैंकिन का स्पर्शरेखीय कोण सूत्र $\delta = 1718.9 \frac{C}{R}$ मिनट है।

Exam Tip: याद रखें कि $1718.9$ की उत्पत्ति $0.5	ext{ radians}$ को मिनटों में परिवर्तित करने से हुई है ($\frac{180 	imes 60}{2\pi} = 1718.87 \approx 1718.9$)। यह मान अक्सर GATE और राज्य PSC परीक्षाओं में पूछा जाता है।

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Option B: $\delta = 1718.9 \frac{R}{C}$ मिनट

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Option C: $\delta = 1719.9 \frac{C}{R}$ मिनट

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Option D: $\delta = 1718.9 \frac{\pi}{R}$ मिनट

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