निम्नलिखित में से कौन सा ऑर्डिनेट (कोटि) का उपयोग करके लॉन्ग कॉर्ड (लंबी जीवा) सेट करने के सूत्र को इंगित करता

Question

निम्नलिखित में से कौन सा ऑर्डिनेट (कोटि) का उपयोग करके लॉन्ग कॉर्ड (लंबी जीवा) सेट करने के सूत्र को इंगित करता है?

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A: $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - (R - O_o)$

Explanation & Concepts:
वक्र सेटिंग (curve setting) में, 'लॉन्ग कॉर्ड से ऑर्डिनेट' विधि का उपयोग वक्र पर किसी दिए गए बिंदु $x$ पर, जो जीवा के मध्य-बिंदु से मापा गया है, लॉन्ग कॉर्ड से लंबवत दूरी $O_x$ निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जिसमें त्रिज्या, ऑर्डिनेट और मध्य-बिंदु से दूरी द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार किया जाता है।

Working Principle: मान लें कि $R$ वक्र की त्रिज्या है और $O_o$ मिड-ऑर्डिनेट (लॉन्ग कॉर्ड के मध्य-बिंदु पर दूरी) है। कॉर्ड के केंद्र से $x$ दूरी पर, लंबवत ऑर्डिनेट $O_x$ की गणना वृत्त के चाप और कॉर्ड लाइन के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी के रूप में की जाती है, जो ज्यामितीय रूप से $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - (R - O_o)$ के रूप में सरल हो जाती है।

Key Formulas: $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - (R - O_o)$ — मध्य-बिंदु से $x$ दूरी पर ऑर्डिनेट; $O_o = R - \sqrt{R^2 - (L/2)^2}$ — लंबाई $L$ की लॉन्ग कॉर्ड का मिड-ऑर्डिनेट

Key Points: क्षेत्र में सरल वृत्ताकार वक्र सेट करने के लिए उपयोग किया जाता है।; यह विधि तब सबसे सटीक होती है जब कॉर्ड की लंबाई अपेक्षाकृत छोटी हो।; इसमें कॉर्ड के केंद्र से लॉन्ग कॉर्ड के साथ $x$ दूरी को सटीक रूप से मापने की आवश्यकता होती है।

Advantages: सरल ज्यामितीय व्युत्पत्ति।; थियोडोलाइट विधि की तरह जटिल कोणीय मापों की आवश्यकता नहीं होती है।

Disadvantages: बहुत लंबे वक्रों के लिए कम सटीक।; यदि माप सटीक न हों तो संचयी त्रुटियां हो सकती हैं।

Applications: राजमार्ग और रेलवे इंजीनियरिंग में छोटे वृत्ताकार वक्र सेट करना।; भूमि सर्वेक्षण में वृत्ताकार चाप रास्तों का सत्यापन।

Additional Info: पद $(R - O_o)$ वृत्त के केंद्र से लॉन्ग कॉर्ड तक की लंबवत दूरी को दर्शाता है।. विकल्प B रूट के अंदर '+' चिह्न के कारण गलत है, जो वृत्त के बाहर के बिंदु के लिए कर्ण गणना का प्रतिनिधित्व करता है। विकल्प C और D बीजगणितीय रूप से गलत व्युत्पत्तियाँ हैं।

Answer: A सही है — यह सूत्र कॉर्ड से चाप तक की ऊर्ध्वाधर दूरी का सही प्रतिनिधित्व करता है, जिसकी गणना त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण $\sqrt{R^2 - x^2}$ में से स्थिर ऑफसेट $(R - O_o)$ को घटाकर की जाती है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि वक्र ज्यामिति में, $R^2 = x^2 + y^2$ होता है, जहाँ $y$ लंबवत दूरी है; मूल बिंदु को कॉर्ड के मध्य-बिंदु पर स्थानांतरित करने से $(R - O_o)$ पद आता है।

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Option B: $O_x = \sqrt{R^2 + x^2} - (R - O_o)$

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Option C: $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} + (R - O_o)$

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Option D: $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - (R + O_o)$

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