निम्नलिखित में से कौन सा बीम स्थैतिक रूप से निर्धारित (statically determinate) नहीं है?

Question

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C: कंटीन्यूअस बीम

Explanation & Concepts:
एक स्थैतिक रूप से निर्धारित संरचना वह होती है जिसमें सभी प्रतिक्रिया बलों और आंतरिक सदस्य बलों को केवल स्थैतिक संतुलन के समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। एक कंटीन्यूअस बीम, जिसमें दो से अधिक सपोर्ट होते हैं, में उपलब्ध संतुलन समीकरणों की तुलना में अधिक अज्ञात प्रतिक्रिया घटक होते हैं, जिससे यह स्थैतिक रूप से अनिश्चित (statically indeterminate) हो जाती है।

Working Principle: एक समतलीय प्रणाली में, हमारे पास तीन मूलभूत संतुलन समीकरण होते हैं: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, और $\sum M = 0$। $r$ प्रतिक्रिया घटकों वाली संरचना के लिए, यदि $r > 3$ है, तो संरचना स्थैतिक रूप से अनिश्चित होती है। एक कंटीन्यूअस बीम में आमतौर पर चार या अधिक प्रतिक्रिया घटक (कम से कम तीन सपोर्ट) होते हैं, जिन्हें हल करने के लिए अतिरिक्त संगतता समीकरणों जैसे 'थ्योरम ऑफ थ्री मोमेंट्स' या 'स्लोप-डिफ्लेक्शन' विधि की आवश्यकता होती है।

Key Formulas: $D_s = r - 3$ — समतलीय बीम के लिए स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री; $\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M_z = 0$ — स्थैतिक संतुलन के मूल समीकरण

Key Points: एक संरचना निर्धारित होती है यदि अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या के बराबर हो।; सिंपली सपोर्टेड, कैंटिलीवर और ओवरहैंगिंग बीम बुनियादी स्थैतिक रूप से निर्धारित कॉन्फ़िगरेशन हैं।; कंटीन्यूअस बीम रिडंडेंट संरचनाएं होती हैं क्योंकि उनमें स्थिरता के लिए आवश्यक से अधिक सपोर्ट होते हैं।; $n$ स्पैन वाली कंटीन्यूअस बीम के लिए स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री ($D_s$) $(n+1) - 3$ होती है।

Advantages: निर्धारित बीम तनाव गणना के लिए तापमान परिवर्तन या सपोर्ट सेटलमेंट से स्वतंत्र होती हैं।; कंप्यूटेशनल उपकरणों के बिना मैन्युअल रूप से विश्लेषण करना आसान होता है।

Disadvantages: कंटीन्यूअस बीम (अनिश्चित) संरचनात्मक रूप से अधिक कुशल होती हैं और बेहतर भार पुनर्वितरण प्रदान करती हैं।; निर्धारित संरचना के एक घटक की विफलता पूर्ण पतन का कारण बनती है (कोई रिडंडेंसी नहीं होती)।

Applications: साधारण आवासीय फर्श बीम।; अस्थायी पुल संरचनाएं।; संरचनात्मक विश्लेषण शिक्षा।

Additional Info: कंटीन्यूअस बीम को हल करने के लिए सुपरपोजिशन के सिद्धांत या मोमेंट डिस्ट्रीब्यूशन जैसी विधियों की आवश्यकता होती है।. विकल्प A, B, और D स्थैतिक रूप से निर्धारित हैं क्योंकि उनके प्रतिक्रिया बलों को तीन बुनियादी संतुलन समीकरणों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

Answer: C सही है — कंटीन्यूअस बीम स्थैतिक रूप से अनिश्चित है क्योंकि इसमें स्थैतिक संतुलन के उपलब्ध समीकरणों की तुलना में अधिक प्रतिक्रिया सपोर्ट होते हैं।

Exam Tip: हमेशा बाधाओं (सपोर्ट) की संख्या बनाम स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) की जांच करें; यदि आप इसे केवल तीन संतुलन समीकरणों के साथ हल नहीं कर सकते हैं, तो यह स्थैतिक रूप से अनिश्चित है!

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Option A: सिंपली सपोर्टेड बीम

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Option B: कैंटिलीवर बीम

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Option D: ओवरहैंगिंग बीम

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