निम्नलिखित में से कौन सा बीम स्थैतिक रूप से अनिर्धारित (statically indeterminate) नहीं है?

Question

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A: कैंटिलीवर बीम

Explanation & Concepts:
एक कैंटिलीवर बीम एक स्थैतिक रूप से निर्धारित (statically determinate) संरचना है क्योंकि सभी सपोर्ट प्रतिक्रियाओं की गणना केवल स्थैतिक संतुलन के समीकरणों का उपयोग करके की जा सकती है: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, और $\sum M = 0$। इसके विपरीत, अनिर्धारित संरचनाओं में उपलब्ध संतुलन समीकरणों की तुलना में अधिक अज्ञात प्रतिक्रिया घटक होते हैं, जिन्हें हल करने के लिए विस्थापन की संगतता स्थितियों (compatibility of displacement conditions) की आवश्यकता होती है।

Working Principle: स्थैतिक निर्धारण $D_s = R - E$ संबंध द्वारा नियंत्रित होता है, जहाँ $D_s$ स्थैतिक अनिर्धार्यता की डिग्री है, $R$ अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या है, और $E$ उपलब्ध संतुलन समीकरणों की संख्या है। एक कैंटिलीवर बीम के लिए, $R=3$ (फिक्स्ड सिरे पर ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और मोमेंट प्रतिक्रिया) और $E=3$ (समतल संरचनाओं के लिए) होता है, जिसके परिणामस्वरूप $D_s = 0$ प्राप्त होता है। सूचीबद्ध अन्य विकल्पों में $R > 3$ होता है, जिससे $D_s > 0$ प्राप्त होता है, जो उन्हें स्थैतिक रूप से अनिर्धारित बनाता है।

Key Formulas: $D_s = R - E$ — स्थैतिक अनिर्धार्यता की डिग्री के लिए सामान्य समीकरण; $D_s = 0$ — स्थैतिक निर्धारण के लिए स्थिति

Key Points: एक संरचना निर्धारित होती है यदि सभी प्रतिक्रियाओं को केवल स्थैतिक संतुलन समीकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।; अनिर्धारित बीम स्थानीय विफलताओं के मामले में उच्च अतिरेक (redundancy) और सुरक्षा प्रदान करते हैं।; प्रॉप्ड कैंटिलीवर बीम में 4 अज्ञात प्रतिक्रियाएं ($R=4$) होती हैं लेकिन केवल 3 संतुलन समीकरण ($E=3$) होते हैं, जिससे $D_s=1$ होता है।; कंटीन्यूअस बीम अतिरिक्त सपोर्ट प्रतिक्रियाओं के कारण स्वाभाविक रूप से अनिर्धारित होते हैं।

Advantages: निर्धारण (determinacy) बेंडिंग मोमेंट और शियर फोर्स की आसान गणना की अनुमति देता है।; कैंटिलीवर प्रणालियों को बुनियादी वास्तुशिल्प आवश्यकताओं के लिए डिज़ाइन करना सरल है।

Disadvantages: निर्धारित संरचनाएं किसी सपोर्ट के विफल होने पर लोड पुनर्वितरण की सुविधा प्रदान नहीं करती हैं।; अनिर्धारित संरचनाओं की तुलना में सरल निर्धारित संरचनाओं में अक्सर अधिक विक्षेपण (deflection) देखा जाता है।

Applications: बालकनी प्रोजेक्शन; साधारण वास्तुशिल्प ओवरहैंग; विमान के पंख (कैंटिलीवर संरचनाओं के रूप में)

Additional Info: फिक्स्ड बीम में 2D में 6 अज्ञात प्रतिक्रियाएं ($3+3=6$) होती हैं लेकिन प्रत्येक स्पैन के लिए केवल 3 समीकरण होते हैं; वे आम तौर पर एक एकल स्पैन के लिए $D_s=3$ होते हैं।. कंटीन्यूअस बीम में $n$ अतिरिक्त सपोर्ट होते हैं, जो $D_s = n$ की ओर ले जाते हैं।

Answer: A सही है — कैंटिलीवर बीम विकल्पों में एकमात्र ऐसी संरचना है जो स्थैतिक रूप से निर्धारित है, क्योंकि इसकी प्रतिक्रियाएं संतुलन समीकरणों के माध्यम से पूरी तरह से हल की जा सकती हैं।

Exam Tip: हमेशा सपोर्ट प्रतिक्रियाओं की संख्या ($R$) को उपलब्ध संतुलन समीकरणों ($E=3$, 2D बीम के लिए) के साथ सत्यापित करें ताकि यह जल्दी से पहचाना जा सके कि कोई संरचना अनिर्धारित है या नहीं।

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Option B: फिक्स्ड बीम

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Option C: कंटीन्यूअस बीम

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Option D: प्रॉप्ड कैंटिलीवर बीम

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