20m लंबाई के लिए वक्र की त्रिज्या (radius) और डिग्री (degree of curve) के बीच निम्नलिखित में से कौन सा संबंध स

Question

20m लंबाई के लिए वक्र की त्रिज्या (radius) और डिग्री (degree of curve) के बीच निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

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The correct answer is A: $1146 / D$. सर्वेक्षण (surveying) में, वक्र की डिग्री ($D$) को चाप परिभाषा (arc definition) या जीवा परिभाषा (chord definition) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। 20 m की लंबाई (चाप या जीवा) के लिए, वक्र की त्रिज्या ($R$) और वक्र की डिग्री ($D$) के बीच संबंध $R = \frac{1146}{D}$ मीटर द्वारा दिया जाता है, जहाँ $D$ डिग्री में है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
सर्वेक्षण (surveying) में, वक्र की डिग्री ($D$) को चाप परिभाषा (arc definition) या जीवा परिभाषा (chord definition) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। 20 m की लंबाई (चाप या जीवा) के लिए, वक्र की त्रिज्या ($R$) और वक्र की डिग्री ($D$) के बीच संबंध $R = \frac{1146}{D}$ मीटर द्वारा दिया जाता है, जहाँ $D$ डिग्री में है।

Working Principle: वक्र की डिग्री $D$ को निर्दिष्ट लंबाई $S$ के चाप या जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित (subtended) कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। मूलभूत वृत्तीय ज्यामिति संबंध $S = R 	imes 	heta$ (जहाँ $	heta$ रेडियन में है) से, $	heta$ को डिग्री ($D^{\circ}$) से रेडियन में बदलने पर $S = R 	imes \left(\frac{D \pi}{180}ight)$ प्राप्त होता है, जिससे $R = \frac{180 S}{\pi D}$ मिलता है। $S = 20	ext{ m}$ प्रतिस्थापित करने पर $R = \frac{3600}{\pi D} \approx \frac{1146}{D}$ प्राप्त होता है।

Key Formulas: $R = \frac{180 	imes S}{\pi D}$ — त्रिज्या $R$, चाप की लंबाई $S$, और वक्र की डिग्री $D$ को जोड़ने वाला सामान्य सूत्र; $R = \frac{1146}{D}$ — 20m की जरीब (chain) या चाप की लंबाई के लिए सूत्र; $R = \frac{1719}{D} \approx \frac{1720}{D}$ — 30m की जरीब (chain) या चाप की लंबाई के लिए सूत्र

Key Points: वक्र की डिग्री ($D$) मानक चाप या जीवा की लंबाई द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है।; 20 m की मानक लंबाई के लिए, $R = \frac{1145.92}{D} \approx \frac{1146}{D}$ मीटर।; 30 m की मानक लंबाई के लिए, $R = \frac{1718.87}{D} \approx \frac{1720}{D}$ मीटर।

Advantages: त्रिकोणमितीय तालिकाओं के बिना फ़ील्ड कार्यों में सीधे डिग्री से वक्र त्रिज्या की तीव्र गणना की अनुमति देता है।; मानक जरीब की लंबाइयों का उपयोग करके सरल वृत्ताकार वक्रों के लेआउट/सेटिंग आउट को सरल बनाता है।

Disadvantages: चाप और जीवा परिभाषाएं बहुत तीखे वक्रों (बड़े $D$) के लिए मामूली विसंगतियां उत्पन्न करती हैं।; यदि सटीक परिशुद्धता की आवश्यकता है, तो सूत्र का निकटतम मान मामूली राउंडिंग त्रुटि लाता है।

Applications: रेलवे और राजमार्गों के लिए मार्ग सर्वेक्षण (Route surveying)।; जरीब (chains) या फीते (tapes) का उपयोग करके वृत्ताकार वक्रों का फ़ील्ड लेआउट।

Additional Info: विकल्प B ($1720 / D$) 30m जरीब की लंबाई के लिए उपयोग किया जाने वाला मानक सूत्र है, न कि 20m जरीब की लंबाई के लिए।. विकल्प C गलत है क्योंकि $1720 / D$ विशेष रूप से 30m जरीब की लंबाइयों पर लागू होता है।

Answer: A सही है — 20m लंबाई के लिए, ज्यामिति से प्राप्त सूत्र $R = \frac{1146}{D}$ मीटर देता है।

Exam Tip: हमेशा प्रश्न में दी गई जरीब की लंबाई की जाँच करें: 20m के लिए $1146/D$ और 30m के लिए $1720/D$ का उपयोग करें। यदि फीट (100 ft जरीब) में निर्दिष्ट है, तो संबंध $5730/D$ होता है।

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Option B: $1720 / D$

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Option C: A और B दोनों

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Option D: उपर्युक्त में से कोई नहीं

Feature	20 m की जरीब	30 m की जरीब
मानक चाप/जीवा लंबाई ( $S$ )	20 मीटर	30 मीटर
सटीक सूत्र	$R = \frac{1145.92}{D}$	$R = \frac{1718.87}{D}$
अनुमानित/लगभग सूत्र	$R = \frac{1146}{D}$	$R = \frac{1720}{D}$

Feature	20 m की जरीब	30 m की जरीब
मानक चाप/जीवा लंबाई ( $S$ )	20 मीटर	30 मीटर
सटीक सूत्र	$R = \frac{1145.92}{D}$	$R = \frac{1718.87}{D}$
अनुमानित/लगभग सूत्र	$R = \frac{1146}{D}$	$R = \frac{1720}{D}$

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