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Chapter 1 of 12 • Page 1 of 248🔒 Protected PDF • Watermarked
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एक थैले में 1 से 42 तक की संख्या वाली गेंदें हैं। इन गेंदों में से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि इसकी संख्या 7 या 8 का गुणज है?
4222
2213
2211
4211
4211
7 के गुणजों (6 गेंदें) और 8 के गुणजों (5 गेंदें) की गणना करें। 7 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 56 है, जो 42 से अधिक है, इसलिए कोई प्रतिच्छेदन (0 ओवरलैप) नहीं है। कुल = 6 + 5 = 11।
1 से 42 तक क्रमांकित गेंदों का एक सेट। कुल परिणाम = 42।
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
7 के गुणजों (6 गेंदें) और 8 के गुणजों (5 गेंदें) की गणना करें। 7 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 56 है, जो 42 से अधिक है, इसलिए कोई प्रतिच्छेदन (0 ओवरलैप) नहीं है। कुल = 6 + 5 = 11।
छात्र अक्सर प्रतिच्छेदन (जैसे 56) खोजने की कोशिश करते हैं जबकि सीमा के भीतर ऐसा कुछ नहीं होता, जिससे गलत घटाव या दो बार गिनती हो जाती है।
7 के गुणजों की पहचान करें
42 तक 7 के गुणज हैं: 7, 14, 21, 28, 35, 42। ऐसी 6 संख्याएँ हैं।
n(A)=6
8 के गुणजों की पहचान करें
42 तक 8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40। ऐसी 5 संख्याएँ हैं।
n(B)=5
प्रतिच्छेदन की जाँच करें
7 और 8 का LCM 56 है। चूँकि 56 > 42, इसलिए इस सीमा में कोई उभयनिष्ठ गुणज नहीं है।
n(A∩B)=0
प्रायिकता की गणना करें
कुल सफल परिणाम 6 + 5 = 11 हैं। प्रायिकता सफल परिणामों की संख्या को कुल गेंदों (42) से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
P=4211
D सही है क्योंकि 42 की सीमा के भीतर 7 या 8 के गुणजों की कुल संख्या 11 है, जिसके परिणामस्वरूप 11/42 की प्रायिकता प्राप्त होती है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion principle) का यह प्रकार संख्या सिद्धांत और गणना समस्याओं में सामान्य है; हमेशा हर (denominators) के LCM की जाँच करें यह देखने के लिए कि क्या कोई ओवरलैप है।
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