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MathematicsProbability

एक बॉक्स में 1 से 50 तक क्रमांकित 50 टोकन हैं। यादृच्छिक रूप से एक टोकन चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि टोकन पर लिखी संख्या 6 या 9 का गुणज है?

11/50

12/50

9/50

13/50

Correct Answer

⚙️ TE • Technical समावेशन-अपवर्जन का सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion)MathematicsProbability

11/50

Quick Summary:

6 के गुणज (50/6 = 8) और 9 के गुणज (50/9 = 5) की गणना करें, फिर LCM(6, 9)=18 के उभयनिष्ठ गुणजों (50/18 = 2) को घटाएं। परिणाम: (8 + 5 - 2)/50 = 11/50।

📐MAMath Solutionसमावेशन-अपवर्जन का सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion)

📋 Given

1 से 50 तक क्रमांकित टोकन का एक सेट। यादृच्छिक रूप से एक टोकन निकाला जाता है।

🔢 Formula Used

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

विद्यार्थी अक्सर समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग किए बिना 6 और 9 के गुणजों की संख्या को जोड़कर 18 के गुणजों (जैसे 18 और 36) को दो बार गिन लेते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

6 के गुणज ज्ञात करें

$\lfloor 50/6 \rfloor = 8$ की गणना करके 50 तक 6 के गुणजों की संख्या ज्ञात करें। ये {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48} हैं।

n(A)=8n(A) = 8n(A)=8

9 के गुणज ज्ञात करें

$\lfloor 50/9 \rfloor = 5$ की गणना करके 50 तक 9 के गुणजों की संख्या ज्ञात करें। ये {9, 18, 27, 36, 45} हैं।

n(B)=5n(B) = 5n(B)=5

उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात करें

6 और 9 दोनों के गुणजों को ज्ञात करने के लिए उनके LCM का पता लगाएं, जो 18 है। ये {18, 36} हैं।

n(A∩B)=⌊50/18⌋=2n(A \cap B) = \lfloor 50/18 \rfloor = 2n(A∩B)=⌊50/18⌋=2

समावेशन-अपवर्जन लागू करें

कुल अनुकूल परिणामों की गणना करें: $8 + 5 - 2 = 11$ । टोकन की कुल संख्या 50 है।

P=8+5−250=1150P = \frac{8 + 5 - 2}{50} = \frac{11}{50}P=508+5−2​=5011​

✅

A सही है क्योंकि समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत लागू करने पर कुल 50 टोकन में से 11 अनुकूल टोकन प्राप्त होते हैं।

Core Concepts Used

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प्रायिकता समावेशन-अपवर्जन का सिद्धांत गुणज

💡 EXAM TIP

अतिव्यापी सेटों (overlapping sets) की यह अवधारणा प्रतियोगी परीक्षाओं के सेट थ्योरी और तार्किक तर्क (Logical Reasoning) अनुभागों में वेन आरेख समस्याओं को हल करने के लिए मौलिक है।

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