एक समषट्भुज (regular hexagon) एक वृत्त के भीतर अंकित है। यदि षट्भुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई 12 सेमी है, त

Question

एक समषट्भुज (regular hexagon) एक वृत्त के भीतर अंकित है। यदि षट्भुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई 12 सेमी है, तो वृत्त और षट्भुज के बीच स्थित क्षेत्र के क्षेत्रफल का छठा भाग (सेमी² में) ज्ञात कीजिए।

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The correct answer is B: $4(2\pi - 3\sqrt{3})$. याद रखें कि समषट्भुज की भुजा उसके परिवृत्त (circumcircle) की त्रिज्या होती है। सबसे छोटा विकर्ण $d = s\sqrt{3} = 12$ का अर्थ है $s^2 = 48$। अंतर का छठा भाग केवल $\frac{\pi s^2 - (3\sqrt{3}/2)s^2}{6}$ है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: याद रखें कि समषट्भुज की भुजा उसके परिवृत्त (circumcircle) की त्रिज्या होती है। सबसे छोटा विकर्ण $d = s\sqrt{3} = 12$ का अर्थ है $s^2 = 48$। अंतर का छठा भाग केवल $\frac{\pi s^2 - (3\sqrt{3}/2)s^2}{6}$ है।

Formula Used: $$Area_{diff} = Area_{circle} - Area_{hexagon}$$, $$d = s\sqrt{3}$$, $$Area_{hexagon} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$$, $$Area_{circle} = \pi s^2$$

Given: एक समषट्भुज एक वृत्त के भीतर अंकित है, और षट्भुज का सबसे छोटा विकर्ण (d) 12 सेमी है।

Steps: षट्भुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करें: भुजा $s$ वाले एक समषट्भुज के लिए, सबसे छोटा विकर्ण गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ता है, जिसे सूत्र $d = s\sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $d = 12$ सेमी दिया गया है, हम $s$ के लिए हल करते हैं: $s\sqrt{3} = 12 \implies s = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$। अतः, $s^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 	imes 3 = 48$।. क्षेत्रफलों में अंतर की गणना करें: परिवृत्त की त्रिज्या $R$, षट्भुज की भुजा $s$ के बराबर होती है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi R^2 = \pi s^2 = 48\pi$ है। समषट्भुज का क्षेत्रफल $A_h = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(48) = 72\sqrt{3}$ है।. क्षेत्रफल का छठा भाग ज्ञात करें: हमें उनके बीच के क्षेत्र का $\frac{1}{6}$ चाहिए: $\frac{1}{6}(48\pi - 72\sqrt{3}) = \frac{48\pi}{6} - \frac{72\sqrt{3}}{6} = 8\pi - 12\sqrt{3}$। 4 को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें $4(2\pi - 3\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

Answer: B सही है क्योंकि गणना किया गया मान $\frac{1}{6}(48\pi - 72\sqrt{3}) = 4(2\pi - 3\sqrt{3})$ विकल्प B से मेल खाता है।

Exam Tip: इस प्रकार की समस्या प्रतियोगी परीक्षाओं के ज्यामिति अनुभागों में अक्सर दिखाई देती है; हमेशा पहले षट्भुज की भुजा को वृत्त की त्रिज्या से संबंधित करें।

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Option A: $6(3\pi - 2\sqrt{3})$

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Option C: $4(3\pi - 2\sqrt{3})$

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Option D: $6(2\pi - 3\sqrt{3})$

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