MathematicsMensuration

6 सेमी भुजा वाले एक ठोस धात्विक घन को पिघलाकर 2 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में ढाला जाता है। ऐसे कितने छोटे घन बनाए जा सकते हैं?

Correct Answer

📐 MA • Math अवधारणा और सिद्धांतMathematicsMensuration

Quick Summary:

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर उसी सामग्री से छोटी वस्तुएं बनाई जाती हैं, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। छोटे घनों की संख्या बड़े घन के आयतन को एक छोटे घन के आयतन से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

🔬SCScience Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

💡 Everyday Analogy (Real-World Intuition)

कल्पना कीजिए कि आप 216 घन सेंटीमीटर आयतन वाले बर्फ के एक बड़े ब्लॉक को पिघलाते हैं और पानी को बर्फ की छोटी ट्रे में डालते हैं जिनमें से प्रत्येक 8 घन सेंटीमीटर की है; आप ठीक 27 छोटी ट्रे भर पाएंगे।

🧠 Memory Mnemonic / Shortcut Aid

बड़े आयतन को छोटे आयतन से विभाजित करने पर संख्या प्राप्त होती है!

🔢 Key Formulas

$V = a^3$ — भुजा $a$ वाले घन का आयतन

$n = \frac{V_{\text{large}}}{V_{\text{small}}}$ — बने हुए छोटे घनों की संख्या

⚙️ Working Principle

पिघलाने और ढालने की प्रक्रियाओं में द्रव्यमान और आयतन के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, मूल धातु का आयतन सभी ढाली गई वस्तुओं के आयतनों के योग के बराबर होता है। घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है। अतः, आयतनों का अनुपात $n = \frac{V_{\text{large}}}{V_{\text{small}}} = \frac{6^3}{2^3} = \frac{216}{8} = 27$ देता है।

📌 Key Points

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पिघलाने और पुनः ढालने के दौरान आयतन स्थिर रहता है (नगण्य नुकसान को छोड़कर)।
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बड़े घन की भुजा की लंबाई 6 cm है, जिससे इसका आयतन $216 \text{ cm}^3$ हो जाता है।
▸
प्रत्येक छोटे घन की भुजा की लंबाई 2 cm है, जिससे इसका आयतन $8 \text{ cm}^3$ हो जाता है।

✅ Advantages

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सीधे चित्रण या जटिल मॉडलिंग के बजाय आयतन अनुपात का उपयोग करके त्वरित गणना।

❌ Disadvantages / Limitations

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बिना किसी पिघलने वाली बर्बादी या धातुमल के 100% सामग्री दक्षता को मानता है।

🛠️ Applications / Uses

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फाउंड्री का काम और धातु कास्टिंग उद्योग
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थोक स्टॉक सामग्री से समान घटकों का निर्माण

📄 Additional Information

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अवस्था परिवर्तन और पुनः ढालने के दौरान धात्विक सामग्री का घनत्व अपरिवर्तित रहता है।
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विकल्प A (9), विकल्प B (18), और विकल्प D (36) गलत घातांक गणनाओं या पृष्ठीय क्षेत्रफल-से-आयतन अनुपात की गलतफहमी से उत्पन्न होते हैं।

📊 Diagram / Illustration

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C सही है — आयतन संरक्षण के कारण 6 cm भुजा वाले एक ठोस धात्विक घन से 2 cm भुजा वाले 27 छोटे घन बनाए जा सकते हैं।

Core Concepts Used

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आयतन संरक्षण घन ज्यामिति अनुपात और समानुपात

💡 EXAM TIP

हमेशा जांचें कि क्या समस्या रैखिक आयामों, पृष्ठीय क्षेत्रफलों या आयतनों के बारे में पूछती है, क्योंकि स्केलिंग कारक भिन्न होते हैं (रैखिक के लिए $a$ , क्षेत्रफल के लिए $a^2$ , और आयतन के लिए $a^3$ )।

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