MathematicsMensuration

6 सेमी त्रिज्या के एक ठोस गोले को पिघलाया जाता है और 2 सेमी त्रिज्या वाले छोटे गोलों में ढाला जाता है। ऐसे कितने गोले बनाए जा सकते हैं?

Correct Answer

📐 MA • Math अवधारणा और सिद्धांतMathematicsMensuration

Quick Summary:

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर उसी पदार्थ की छोटी वस्तुओं में ढाला जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। बड़े ठोस गोले के आयतन को $n$ छोटे गोलों के संयुक्त आयतन के बराबर करके, हम पाते हैं कि बनने वाले गोलों की संख्या 27 है। अतः, विकल्प B सही विकल्प है।

🔬SCScience Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

💡 Everyday Analogy (Real-World Intuition)

कल्पना करें कि मिट्टी के एक बड़े गोले को कई छोटी, समान आकार की कंचों में पिघलाया जा रहा है; मिट्टी की कुल मात्रा समान रहती है, जिससे आप कुल आयतन को विभाजित करके यह गिन सकते हैं कि आप कितने कंचे बना सकते हैं।

🧠 Memory Mnemonic / Shortcut Aid

आयतन रहता बरकरार, नए से भाग दो यार!

🔢 Key Formulas

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ — त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन

$n = \frac{V_{large}}{V_{small}} = \left(\frac{R}{r}\right)^3$ — ढाले गए गोलों की संख्या

⚙️ Working Principle

आयतन संरक्षण का सिद्धांत यह निर्धारित करता है कि जब कोई सामग्री नष्ट नहीं होती है, तो अवस्था परिवर्तन या भौतिक रूप देने के दौरान पदार्थ का कुल आयतन स्थिर रहता है। गोले का आयतन सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है। बड़े गोले के आयतन को एक छोटे गोले के आयतन से विभाजित करने पर उत्पादित किए जा सकने वाले छोटे गोलों की कुल संख्या प्राप्त होती है।

📌 Key Points

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आयतन संरक्षण पिघलाने और ढालने की समस्याओं के पीछे का मूल सिद्धांत है।
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बड़े गोले की त्रिज्या $R = 6\text{ cm}$ है और छोटे गोले की त्रिज्या $r = 2\text{ cm}$ है।
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त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{6}{2} = 3$ है, और इस अनुपात का घन करने पर $3^3 = 27$ गोले प्राप्त होते हैं।

✅ Advantages

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विनिर्माण और आकार देने की प्रक्रियाओं के दौरान सामग्री वितरण का कुशलतापूर्वक निर्धारण करने की अनुमति देता है।

❌ Disadvantages / Limitations

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पिघलाने और ढालने के दौरान शून्य सामग्री हानि या बर्बादी की परिकल्पना करता है।

🛠️ Applications / Uses

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फाउंड्री का काम और धातु ढलाई
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ग्लास ब्लोइंग और प्लास्टिक घटकों को नया आकार देना

📄 Additional Information

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स्थिरांक: $\pi \approx \frac{22}{7}$ या $3.14159$
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विकल्प A (18), विकल्प C (36), और विकल्प D (54) गलत हैं क्योंकि वे त्रिज्या अनुपात के घन को सही ढंग से लागू करने में विफल रहते हैं।

📊 Diagram / Illustration

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B सही है — आयतन संरक्षण के आधार पर 6 cm त्रिज्या के एक ठोस गोले से 2 cm त्रिज्या के 27 छोटे गोले बनाए जा सकते हैं।

Core Concepts Used

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आयतन संरक्षण गोला क्षेत्रमिति पुनर्गठन अनुपात

💡 EXAM TIP

पिघलाने और ढालने से जुड़ी समान क्षेत्रमिति समस्याओं के लिए, 3D आकृतियों के लिए रैखिक आयामों के अनुपात की घात तीन के पदों में आयतन के अनुपात को हमेशा व्यक्त करें।

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