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MathematicsGeometry

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G समबाहु त्रिभुज ABC का केंद्रक (centroid) है। यदि AB = 36 सेमी है, तो AG की लंबाई (सेमी में) है:

$8\sqrt{6}$

$10\sqrt{3}$

$6\sqrt{6}$

$12\sqrt{3}$

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsGeometry

$12\sqrt{3}$

Quick Summary:

एक समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक से शीर्ष की दूरी ऊँचाई की $\frac{2}{3}$ होती है। चूंकि ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ है, इसलिए दूरी $AG = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।

📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

समबाहु त्रिभुज की भुजा AB = 36 सेमी, G केंद्रक है।

🔢 Formula Used

AG=a3AG = \frac{a}{\sqrt{3}}AG=3​a​, जहाँ aaa भुजा की लंबाई है।

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⚠️ Common Student Trap / Pitfall

विद्यार्थी अक्सर केंद्रक से भुजा की दूरी (अंतःत्रिज्या) को केंद्रक से शीर्ष की दूरी (परित्रिज्या) समझ लेते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

शीर्ष से केंद्रक की दूरी के लिए सूत्र की पहचान करें

भुजा लंबाई $a$ वाले एक समबाहु त्रिभुज में, शीर्ष से केंद्रक $AG$ की दूरी त्रिभुज की ऊँचाई से संबंधित सूत्र द्वारा दी जाती है।

AG=23×ऊँचाई=23×32a=a3AG = \frac{2}{3} \times \text{ऊँचाई} = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{\sqrt{3}}AG=32​×ऊँचाई=32​×23​​a=3​a​

दी गई भुजा की लंबाई का मान रखें

व्युत्पन्न सूत्र में $a = 36$ सेमी रखें।

AG=363AG = \frac{36}{\sqrt{3}}AG=3​36​

परिमेयकरण (Rationalize) और सरलीकरण करें

व्यंजक का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा करें।

AG=36×33=123 सेमीAG = \frac{36 \times \sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \text{ सेमी}AG=336×3​​=123​ सेमी

✅

D सही है क्योंकि 36 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से केंद्रक की दूरी $\frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ सेमी है।

Core Concepts Used

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समबाहु त्रिभुज केंद्रक के गुण परिमेयकरण

💡 EXAM TIP

याद रखें कि केंद्रक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जो किसी भी त्रिभुज पर लागू होने वाला एक मूलभूत गुण है।

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