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MathematicsGeometry

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G समबाहु त्रिभुज PQR का केंद्रक (centroid) है। यदि PQ = 18 cm है, तो PG की लंबाई (cm में) है:

4 $\times\sqrt{3}$

6 $\times\sqrt{3}$

8 $\times\sqrt{3}$

9 $\times\sqrt{3}$

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsGeometry

6 $\times\sqrt{3}$

Quick Summary:

एक समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी हमेशा भुजा की लंबाई की $\frac{1}{\sqrt{3}}$ गुना होती है, या प्रभावी रूप से भुजा की लंबाई को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

समबाहु त्रिभुज PQR जिसकी भुजा की लंबाई PQ = 18 cm है, जहाँ G केंद्रक है।

🔢 Formula Used

PG=a3PG = \frac{a}{\sqrt{3}}PG=3​a​

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

विद्यार्थी अक्सर केंद्रक से भुजा की दूरी (अंतःत्रिज्या - inradius) और शीर्ष की दूरी (परित्रिज्या - circumradius) के बीच भ्रमित हो जाते हैं। भुजा की दूरी $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ होती है, जबकि शीर्ष की दूरी $\frac{a}{\sqrt{3}}$ होती है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

त्रिभुज के गुणों की पहचान करें

भुजा $a$ वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊँचाई $h$ का मान $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ द्वारा दिया जाता है।

h=32×18=93h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 18 = 9\sqrt{3}h=23​​×18=93​

केंद्रक गुण का उपयोग करें

केंद्रक $G$ माध्यिका (जो समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई भी होती है) को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। शीर्ष से केंद्रक तक के खंड $PG$ की लंबाई ऊँचाई का $\frac{2}{3}$ होती है।

PG=23×hPG = \frac{2}{3} \times hPG=32​×h

PG की गणना करें

$PG$ ज्ञात करने के लिए $h$ का मान अनुपात सूत्र में रखें।

PG=23×93=63PG = \frac{2}{3} \times 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}PG=32​×93​=63​

✅

B सही है क्योंकि केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी की गणना $\frac{2}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{2} \times 18)$ के रूप में की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप $6\sqrt{3}$ cm प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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त्रिभुज का केंद्रक समबाहु त्रिभुज के गुण माध्यिका और ऊँचाई के अनुपात

💡 EXAM TIP

केंद्रक के $2:1$ अनुपात की इस अवधारणा का उपयोग अक्सर निर्देशांक ज्यामिति (coordinate geometry) में त्रिभुज के शीर्ष दिए होने पर केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

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