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PQ दो वृत्तों की एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है जिनके केंद्र क्रमशः O1 और O₂ हैं, जो बिंदु A पर बाह्य रूप से एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 16 cm और 9 cm हैं। PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
20 cm
24 cm
25 cm
28 cm
24 cm
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के लिए, सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई त्रिज्याओं के गुणोत्तर माध्य का 2 गुना होती है: 2r1⋅r2।
पहले वृत्त की त्रिज्या r1=16 cm, दूसरे वृत्त की त्रिज्या r2=9 cm। वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
L=2r1×r2
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के लिए, सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई त्रिज्याओं के गुणोत्तर माध्य का 2 गुना होती है: 2r1⋅r2।
कई छात्र सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई के सूत्र L=2r1r2 को अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई के सूत्र L=d2−(r1+r2)2 के साथ भ्रमित कर देते हैं, जहाँ d केंद्रों के बीच की दूरी है।
दी गई त्रिज्याओं की पहचान करें
हमें r1=16 cm और r2=9 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दिए गए हैं।
r1=16,r2=9
स्पर्शरेखा लंबाई सूत्र लागू करें
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र 2r1r2 है।
L=216×9
अंतिम परिणाम की गणना करें
गुणनफल का वर्गमूल निकालें: 16=4 और 9=3। इनका गुणा करने पर 4×3=12 प्राप्त होता है, फिर प्रारंभिक 2 से गुणा करने पर 24 प्राप्त होता है।
L=2×4×3=24
B सही है क्योंकि उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई की गणना 216×9=2×12=24 cm के रूप में की जाती है।
यह अवधारणा निर्देशांक ज्यामिति और त्रिकोणमिति में एक क्लासिक है; विशेष रूप से, बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों से जुड़ी समस्याएँ अक्सर उन समस्याओं के साथ दिखाई देती हैं जिनमें केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, जो कि r1+r2 होती है।