त्रिज्या $ 10 \text{ cm}$ की एक गेंद ली जाती है और इसके केंद्र... | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

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त्रिज्या $10 \text{ cm}$ की एक गेंद ली जाती है और इसके केंद्र से $1 \text{ cm}$ त्रिज्या का एक बेलनाकार छेद किया जाता है। नीचे सूचीबद्ध विकल्पों में से कौन सा विकल्प खोखली गेंद के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का मूल गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात के मान के सबसे निकटतम है?

$\frac{219}{200}$

$\frac{1}{10}$

$\frac{221}{200}$

$\frac{11}{5}$

Correct Answer

📐 MA • Math प्रत्यक्ष सूत्रMathematicsMensuration

$\frac{219}{200}$

Quick Summary:

जोड़े गए और घटाए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल घटकों की गणना करें: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4\pi R^2$ , दो वृत्ताकार सिरों को घटाया गया ( $2\pi r^2$ ), और आंतरिक बेलनाकार दीवार को जोड़ा गया ( $2\pi r \times 2R$ )।

📐MAMath Solutionप्रत्यक्ष सूत्र

📋 Given

त्रिज्या R = 10 cm की गेंद, केंद्र से छिद्रित त्रिज्या r = 1 cm का बेलनाकार छेद।

🔢 Formula Used

अनुपात=4πR2−2πr⋅2R+2πr24πR2\text{अनुपात} = \frac{4\pi R^2 - 2\pi r \cdot 2R + 2\pi r^2}{4\pi R^2}अनुपात=4πR24πR2−2πr⋅2R+2πr2​

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर बेलन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ना भूल जाते हैं या छिद्रों के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को दो बार गलत तरीके से घटा देते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

मूल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

त्रिज्या $R = 10\text{ cm}$ की मूल ठोस गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S_1 = 4\pi R^2$ ।

S1=4π(10)2=400πS_1 = 4\pi (10)^2 = 400\piS1​=4π(10)2=400π

खोखली गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल

जब केंद्र से त्रिज्या $r = 1\text{ cm}$ का एक बेलनाकार छेद किया जाता है, तो बाहरी सतह से प्रत्येक $\pi r^2$ क्षेत्रफल के दो वृत्ताकार सिरे हट जाते हैं, और ऊँचाई $2R$ (गेंद के व्यास के बराबर) की एक नई आंतरिक बेलनाकार वक्र सतह बन जाती है।

S2=4πR2−2(πr2)+2πr(2R)S_2 = 4\pi R^2 - 2(\pi r^2) + 2\pi r (2R)S2​=4πR2−2(πr2)+2πr(2R)

मान रखें

नई पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_2$ के व्यंजक में $R = 10$ और $r = 1$ रखें: $S_2 = 4\pi(10)^2 - 2\pi(1)^2 + 2\pi(1)(2\times 10) = 400\pi - 2\pi + 40\pi = 438\pi$ ।

S2=400π−2π+40π=438πS_2 = 400\pi - 2\pi + 40\pi = 438\piS2​=400π−2π+40π=438π

अनुपात की गणना करें

खोखली गेंद के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का मूल गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए: $\text{अनुपात} = \frac{S_2}{S_1} = \frac{438\pi}{400\pi} = \frac{219}{200}$ ।

अनुपात=438π400π=219200\text{अनुपात} = \frac{438\pi}{400\pi} = \frac{219}{200}अनुपात=400π438π​=200219​

✅

A सही है क्योंकि खोखली गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल का मूल गेंद से अनुपात $\frac{219}{200}$ प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन का वक्र पृष्ठीy क्षेत्रफल संयुक्त ठोस क्षेत्रमिती

💡 EXAM TIP

इसी तरह की संयुक्त ठोस समस्याएं अक्सर 3D ज्यामिति में दिखाई देती हैं जहाँ आयतन या पृष्ठीय क्षेत्रफल के घटकों को जोड़ा या घटाया जाता है।

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