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MathematicsPrevious Year Paper 2024

दो समरूप त्रिभुज $\Delta ABC$ और $\Delta LMN$ हैं। यदि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= 25 \text{ cm}^2$ , $\Delta LMN$ का क्षेत्रफल $= 36 \text{ cm}^2$ और $BC = 2.5 \text{ cm}$ है, तो $MN$ का मान (cm में) है:

Correct Answer

📐 MA • Math क्षेत्रफल अनुपात प्रमेयMathematicsPrevious Year Paper 2024

Quick Summary:

भुजाओं का अनुपात प्राप्त करने के लिए पहले क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल लें: $\sqrt{25/36} = 5/6$ । फिर, $5/6 = 2.5/MN$ रखें, जिसका अर्थ है $MN = 2.5 \times 6 / 5 = 3$ । पुनः गणना: $5 \times MN = 6 \times 2.5 = 15$ , अतः $MN = 3$ ।

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📐MAMath Solutionक्षेत्रफल अनुपात प्रमेय

📋 Given

$\Delta$ ABC का क्षेत्रफल = 25 cm², $\Delta$ LMN का क्षेत्रफल = 36 cm², BC = 2.5 cm. त्रिभुज समरूप हैं।

🔢 Formula Used

Area(ΔABC)Area(ΔLMN)=(BCMN)2\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta LMN)} = \left( \frac{BC}{MN} \right)^2Area(ΔLMN)Area(ΔABC)​=(MNBC​)2

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⚠️ Common Student Trap / Pitfall

विद्यार्थी अक्सर भुजा अनुपात के बराबर करने से पहले क्षेत्रफल अनुपात का वर्गमूल लेना भूल जाते हैं, या वे अंश और हर को भ्रमित कर देते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय का प्रयोग करें

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

Area(ΔABC)Area(ΔLMN)=(BCMN)2\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta LMN)} = \left( \frac{BC}{MN} \right)^2Area(ΔLMN)Area(ΔABC)​=(MNBC​)2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें

क्षेत्रफलों और $BC$ की लंबाई को समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

2536=(2.5MN)2\frac{25}{36} = \left( \frac{2.5}{MN} \right)^23625​=(MN2.5​)2

दोनों पक्षों का वर्गमूल लें

भुजा अनुपात के लिए हल करने हेतु पूरे समीकरण का वर्गमूल लें।

2536=2.5MN  ⟹  56=2.5MN\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{2.5}{MN} \implies \frac{5}{6} = \frac{2.5}{MN}3625​​=MN2.5​⟹65​=MN2.5​

$MN$ के लिए हल करें

$MN$ को अलग करने के लिए तिरछा गुणा करें। $5 \times MN = 6 \times 2.5$ , जो $15$ के बराबर होता है। इसलिए, $MN = 15/5 = 3$ ।

MN=2.5×65=3MN = \frac{2.5 \times 6}{5} = 3MN=52.5×6​=3

✅

C सही है क्योंकि क्षेत्रफलों के अनुपात $(5:6)$ के वर्गमूल पर आधारित गणना भुजा $BC=2.5$ के साथ $MN=3$ देती है। ध्यान दें: यद्यपि कुंजी में D दिया है, दिए गए मानों के आधार पर गणितीय रूप से सही उत्तर 3 है।

Core Concepts Used

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समरूप त्रिभुज क्षेत्रफल अनुपात प्रमेय समानुपाती भुजाएं

💡 EXAM TIP

यह अवधारणा ज्यामिति में मुख्य है; याद रखें कि परिमाप, माध्यिका और शीर्षलंब का अनुपात रैखिक अनुपात का पालन करते हैं, जबकि क्षेत्रफल वर्ग अनुपात का पालन करते हैं।

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