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MathematicsTrigonometry

सरल करें: $\left[\{\sin^8\theta - \cos^8\theta\} \frac{1}{\sin^4\theta + \cos^4\theta}\right] + 2\cos^2\theta$

Correct Answer

📐 MA • Math बीजगणितीय सरलीकरणMathematicsTrigonometry

Quick Summary:

$\theta = 0°$ रखें। तब $\sin(0)=0$ और $\cos(0)=1$ होगा। व्यंजक $(0 - 1) \times \frac{1}{0+1} + 2(1) = -1 + 2 = 1$ हो जाता है। चलिए $\theta = 45°$ के साथ दोबारा जांच करते हैं।

📐MAMath Solutionबीजगणितीय सरलीकरण

📋 Given

sine और cosine की घातों वाला एक व्यंजक: [{ $\sin$ ⁸ $\theta -$$\cos$ ⁸ $\theta$ } $\frac{1}{\sin⁴\theta + \cos⁴\theta}$ ] + 2 $\cos$ ² $\theta$

🔢 Formula Used

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b), a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2aba2+b2=(a+b)2−2ab, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1sin2θ+cos2θ=1

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर $\sin^8\theta - \cos^8\theta$ का विस्तार सही ढंग से नहीं कर पाते हैं या हर $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ के सरलीकरण में संघर्ष करते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

Difference of Squares का उपयोग करके अंश को सरल करें

$\sin^8\theta - \cos^8\theta$ को $((\sin^4\theta)^2 - (\cos^4\theta)^2)$ के रूप में लिखें, जो कि $(\sin^4\theta - \cos^4\theta)(\sin^4\theta + \cos^4\theta)$ में गुणनखंडित होता है।

sin⁡8θ−cos⁡8θ=(sin⁡4θ−cos⁡4θ)(sin⁡4θ+cos⁡4θ)\sin^8\theta - \cos^8\theta = (\sin^4\theta - \cos^4\theta)(\sin^4\theta + \cos^4\theta)sin8θ−cos8θ=(sin4θ−cos4θ)(sin4θ+cos4θ)

समान पद को काटें

गुणनखंडित अंश को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ पद कट जाता है, जिससे $\sin^4\theta - \cos^4\theta$ बचता है।

(sin⁡4θ−cos⁡4θ)+2cos⁡2θ(\sin^4\theta - \cos^4\theta) + 2\cos^2\theta(sin4θ−cos4θ)+2cos2θ

शेष पद का और गुणनखंड करें

सर्वसमिका $\sin^4\theta - \cos^4\theta = (\sin^2\theta - \cos^2\theta)(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$ लागू करें। चूँकि $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ है, इसलिए यह $\sin^2\theta - \cos^2\theta$ हो जाता है।

(sin⁡2θ−cos⁡2θ)+2cos⁡2θ=sin⁡2θ+cos⁡2θ(\sin^2\theta - \cos^2\theta) + 2\cos^2\theta = \sin^2\theta + \cos^2\theta(sin2θ−cos2θ)+2cos2θ=sin2θ+cos2θ

अंतिम परिणाम की गणना करें

पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ का उपयोग करने पर, परिणाम 1 है।

111

✅

A सही है क्योंकि संपूर्ण व्यंजक बीजगणितीय रूप से सरल होकर 1 हो जाता है, जो सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ का पालन करता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बीजगणितीय गुणनखंडन Difference of Squares

💡 EXAM TIP

इस प्रकार का सरलीकरण अक्सर SSC और JEE परीक्षाओं में आता है; यदि आप फंस गए हों तो विकल्पों को जल्दी से हटाने के लिए हमेशा $\theta = 45°$ के साथ जांच करें।

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