एक समद्विबाहु त्रिभुज की तीन भुजाओं का योग 20 सेमी है, और समान भुजा का आधार से अनुपात 3 : 4 है। त्रिभुज की ऊँच

Question

एक समद्विबाहु त्रिभुज की तीन भुजाओं का योग 20 सेमी है, और समान भुजा का आधार से अनुपात 3 : 4 है। त्रिभुज की ऊँचाई है:

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is A: 2√5 सेमी. दिया गया अनुपात 3:4 है, तो भुजाओं को 3x, 3x, 4x मानें। परिमाप 3x+3x+4x = 10x = 20, इसलिए x = 2। भुजाएँ 6, 6, 4 हैं। आधार 4 पर ऊँचाई इसे 2, 2 में विभाजित करती है। पाइथागोरस का उपयोग करते हुए: h = sqrt(6² - 2²) = sqrt(36 - 4) = sqrt(32) = 4√2 सेमी जो विकल्प नहीं है। पुनर्मूल्यांकन: यदि 4x आधार है और 3x भुजा है: 6, 6, 8 (परिमाप 20)। h = sqrt(6² - 4²) = sqrt(36 - 16) = sqrt(20) = 2√5। अनुपात 3:4 का पुन: परीक्षण करने पर: 'समान भुजा और आधार का अनुपात 3:4 है'। यदि आधार = 4x, भुजा = 3x, तो परिमाप = 10x = 20 => x=2। भुजा = 6, आधार = 8। ऊँचाई = sqrt(6² - 4²) = sqrt(20) = 2√5।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: दिया गया अनुपात 3:4 है, तो भुजाओं को 3x, 3x, 4x मानें। परिमाप 3x+3x+4x = 10x = 20, इसलिए x = 2। भुजाएँ 6, 6, 4 हैं। आधार 4 पर ऊँचाई इसे 2, 2 में विभाजित करती है। पाइथागोरस का उपयोग करते हुए: h = sqrt(6² - 2²) = sqrt(36 - 4) = sqrt(32) = 4√2 सेमी जो विकल्प नहीं है। पुनर्मूल्यांकन: यदि 4x आधार है और 3x भुजा है: 6, 6, 8 (परिमाप 20)। h = sqrt(6² - 4²) = sqrt(36 - 16) = sqrt(20) = 2√5। अनुपात 3:4 का पुन: परीक्षण करने पर: 'समान भुजा और आधार का अनुपात 3:4 है'। यदि आधार = 4x, भुजा = 3x, तो परिमाप = 10x = 20 => x=2। भुजा = 6, आधार = 8। ऊँचाई = sqrt(6² - 4²) = sqrt(20) = 2√5।

Formula Used: $$P = 2a + b$$, $$h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2}$$

Given: समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 20 सेमी। समान भुजा (a) और आधार (b) का अनुपात = 3:4।

Steps: भुजाओं को परिभाषित करें: भुजा $a$ और आधार $b$ का दिया गया अनुपात $3:4$ है। मान लीजिए $a = 3x$ और $b = 4x$। लेकिन यहाँ $2a+b = 2(3x)+4x = 10x$। दिया गया परिमाप $20$ है, इसलिए $10x = 20 \implies x = 2$। इससे भुजाएँ $6, 6, 8$ हो जाती हैं।. ऊँचाई की गणना करें: आधार $b$ पर डाली गई ऊँचाई $h$, आधार को दो भागों में विभाजित करती है जिनकी लंबाई $b/2 = 4$ है। समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:. अंतिम गणना: वर्गों को घटाएं और वर्गमूल ज्ञात करें:

Answer: A सही है क्योंकि 6 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज की 8 सेमी आधार पर ऊँचाई 2√5 सेमी है।

Exam Tip: ज्यामितीय भुजाओं के अनुपात से निपटते समय हमेशा त्रिभुज असमानता (दो भुजाओं का योग > तीसरी भुजा) की जाँच करें; यहाँ 6+6 > 8 सत्य है।

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