$\frac{\sin^2 48^\circ + \sin^2 42^\circ}{\tan^2 40^\circ - \csc^2 50^\circ}$ का मान है:

The correct answer is A: 1. पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करें: अंश में $1$ प्राप्त करने के लिए $\sin^2 42^\circ$ को $\cos^2 48^\circ$ से बदलें, और हर को $-(1 + \cot^2 50^\circ - \tan^2 40^\circ) = -1$ के रूप में पहचानें, क्योंकि $\tan 40^\circ = \cot 50^\circ$ होता है। Step-by-Step Solution & Concepts: Shortcut Trick: पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करें: अंश में $1$ प्राप्त करने के लिए $\sin^2 42^\circ$ को $\cos^2 48^\circ$ से बदलें, और हर को $-(1 + \cot^2 50^\circ - \tan^2 40^\circ) = -1$ के रूप में पहचानें, क्योंकि $\tan 40^\circ = \cot 50^\circ$ होता है। Formula Used: $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$$, $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$, $$\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$$, $$1 + \cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta$$ Given: मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है \frac{\sin^2 48^\circ + \sin^2 42^\circ}{\tan^2 40^\circ - \operatorname{cosec}^2 50^\circ} Steps: अंश को सरल करें: सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए, हम $\sin^2 42^\circ$ को $\cos^2 48^\circ$ में परिवर्तित करते हैं क्योंकि $42^\circ = 90^\circ - 48^\circ$ होता है।. हर को सरल करें: दिए गए हर $\tan^2 40^\circ - \operatorname{cosec}^2 50^\circ$ के लिए, हम $\tan 40^\circ = \cot 50^\circ$ और सर्वसमिका $1 + \cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta$ का उपयोग करते हैं।. अंतिम परिणाम की गणना करें: अंश को हर से विभाजित करें। Answer: C सही है क्योंकि मूल्यांकन किए गए व्यंजक का परिणाम -1 प्राप्त होता है। Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्न अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं ताकि पूरक कोण गुणों ($90^\circ - \theta$) और बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की पहचान करने और उन्हें लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण किया जा सके।

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MathematicsPrevious Year Paper 2024

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$\frac{\sin^2 48°+ \sin^2 42°{\tan^2 40°- \csc^2 50°$ का मान है:

Correct Answer

📐 MA • Math त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाMathematicsPrevious Year Paper 2024

Quick Summary:

पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करें: अंश में $1$ प्राप्त करने के लिए $\sin^2 42°$ को $\cos^2 48°$ से बदलें, और हर को $-(1 + \cot^2 50°- \tan^2 40°) = -1$ के रूप में पहचानें, क्योंकि $\tan 40°= \cot 50°$ होता है।

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📐MAMath Solutionत्रिकोणमितीय सर्वसमिका

📋 Given

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है $\frac$ { $\sin$ ² 48°+ $\sin$ ² 42°{ $\tan$ ² 40°- \operatorname{cosec}^2 50°

🔢 Formula Used

sin⁡(90°−θ)=cos⁡θ\sin(90°- \theta) = \cos \thetasin(90°−θ)=cosθ, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1sin2θ+cos2θ=1, tan⁡(90°−θ)=cot⁡θ\tan(90°- \theta) = \cot \thetatan(90°−θ)=cotθ, 1+cot⁡2θ=cosec⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta1+cot2θ=cosec2θ

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

हर में चिह्नों को लेकर भ्रमित होना। हर $\tan^2 40°- \operatorname{cosec}^2 50°$ है। $\tan 40°= \cot 50°$ का उपयोग करने पर, यह $\cot^2 50°- (1 + \cot^2 50°) = -1$ हो जाता है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

अंश को सरल करें

सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए, हम $\sin^2 42°$ को $\cos^2 48°$ में परिवर्तित करते हैं क्योंकि $42°= 90°- 48°$ होता है।

sin⁡248°+sin⁡242°=sin⁡248°+cos⁡248°=1\sin^2 48°+ \sin^2 42°= \sin^2 48°+ \cos^2 48°= 1sin248°+sin242°=sin248°+cos248°=1

हर को सरल करें

दिए गए हर $\tan^2 40°- \operatorname{cosec}^2 50°$ के लिए, हम $\tan 40°= \cot 50°$ और सर्वसमिका $1 + \cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta$ का उपयोग करते हैं।

cot⁡250°−cosec⁡250°=−1\cot^2 50°- \operatorname{cosec}^2 50°= -1cot250°−cosec250°=−1

अंतिम परिणाम की गणना करें

अंश को हर से विभाजित करें।

1−1=−1\frac{1}{-1} = -1−11​=−1

✅

C सही है क्योंकि मूल्यांकन किए गए व्यंजक का परिणाम -1 प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय अनुपात पूरक कोण पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ

💡 EXAM TIP

इस प्रकार के प्रश्न अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं ताकि पूरक कोण गुणों ( $90°- \theta$ ) और बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की पहचान करने और उन्हें लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण किया जा सके।

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