एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (in $ ext{cm}^2 $) का, जिसका शीर्ष से शीर्षलंब (altitude) $ 9 $ cm है, होगा:

Question

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (in $	ext{cm}^2 $) का, जिसका शीर्ष से शीर्षलंब (altitude) $ 9 $ cm है, होगा:

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The correct answer is D: $27\sqrt{3}$. h शीर्षलंब वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल का सूत्र $$\frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ होता है। चूँकि h = 9, तो $h^2 = 81$, और $81/\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: h शीर्षलंब वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल का सूत्र $$\frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ होता है। चूँकि h = 9, तो $h^2 = 81$, और $81/\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$।

Formula Used: $$Area = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$

Given: एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब (h) = 9 cm

Steps: शीर्षलंब और भुजा के बीच संबंध पहचानें: 'a' भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज में, शीर्षलंब 'h' का 'a' से संबंध सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ द्वारा होता है। अतः, $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$।. मानक सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करें: एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ होता है। $a = \frac{18}{\sqrt{3}}$ रखने पर प्राप्त होता है: $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} 	imes (\frac{18}{\sqrt{3}})^2$।. अंतिम सत्यापन: परिकलित क्षेत्रफल $27\sqrt{3}$ $cm^2$ है, जो विकल्प D से मेल खाता है।

Answer: D सही है क्योंकि $h=9$ के साथ सूत्र $Area = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करके निकाला गया क्षेत्रफल $27\sqrt{3}$ $cm^2$ है।

Exam Tip: यह सूत्र $Area = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$ RRB जैसी समय-दबाव वाली परीक्षाओं में बेहद उपयोगी है ताकि पहले भुजा की लंबाई ज्ञात करने के चरण को बचाया जा सके।

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Option A: $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

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Option B: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

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Option C: $12\sqrt{3}$

Correct Answer

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