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MathematicsPrevious Year Paper 2024

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निम्नलिखित में से कौन सी सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं की एक जोड़ी है?

$455, 49$

$81, 16$

$363, 77$

$52, 24$

Correct Answer

📐 MA • Math GCD की गणनाMathematicsPrevious Year Paper 2024

$81, 16$

Quick Summary:

दो संख्याएँ सह-अभाज्य (co-prime) होती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक (GCD) 1 हो। अभाज्य गुणनखंडन या विभाज्यता के नियमों द्वारा सामान्य गुणनखंडों की जाँच करें; वह जोड़ी जिसमें 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, वही उत्तर है।

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📐MAMath SolutionGCD की गणना

📋 Given

संख्याओं की चार जोड़ियाँ दी गई हैं: (455, 49), (81, 16), (363, 77), और (52, 24)।

🔢 Formula Used

gcd(a,b)=1\text{gcd}(a, b) = 1gcd(a,b)=1

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⚠️ Common Student Trap / Pitfall

कई छात्र भाज्य संख्याओं को सह-अभाज्य संख्या समझ लेते हैं। सह-अभाज्य का अर्थ यह नहीं है कि दोनों संख्याएँ अभाज्य हैं; इसका अर्थ है कि उनके बीच 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

विकल्प A का विश्लेषण

$455 = 5 \times 7 \times 13$ के गुणनखंड हैं। $49 = 7 \times 7$ के गुणनखंड हैं। चूंकि उनमें $7$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए वे सह-अभाज्य नहीं हैं।

gcd(455,49)=7≠1\text{gcd}(455, 49) = 7 \neq 1gcd(455,49)=7=1

विकल्प B का विश्लेषण

$81 = 3^4$ ( $3, 9, 27, 81$ ) के गुणनखंड हैं। $16 = 2^4$ ( $2, 4, 8, 16$ ) के गुणनखंड हैं। उनके बीच 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

gcd(81,16)=1\text{gcd}(81, 16) = 1gcd(81,16)=1

विकल्प C का विश्लेषण

$363 = 3 \times 11^2$ के गुणनखंड हैं। $77 = 7 \times 11$ के गुणनखंड हैं। चूंकि उनमें $11$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए वे सह-अभाज्य नहीं हैं।

gcd(363,77)=11≠1\text{gcd}(363, 77) = 11 \neq 1gcd(363,77)=11=1

विकल्प D का विश्लेषण

$52 = 2^2 \times 13$ के गुणनखंड हैं। $24 = 2^3 \times 3$ के गुणनखंड हैं। चूंकि उनमें $2$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए वे सह-अभाज्य नहीं हैं।

gcd(52,24)=4≠1\text{gcd}(52, 24) = 4 \neq 1gcd(52,24)=4=1

✅

B सही है क्योंकि जोड़ी (81, 16) का महत्तम समापवर्तक (GCD) 1 है, जो सह-अभाज्य संख्याओं की परिभाषा को पूरा करता है।

Core Concepts Used

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सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime numbers) महत्तम समापवर्तक (GCD) अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization)

💡 EXAM TIP

सह-अभाज्य संख्याओं की समझ भिन्नों को सरल बनाने और प्रतियोगी परीक्षाओं में रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों या मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।

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