किसी भी क्षण हवा में उपलब्ध ऊर्जा की मात्रा हवा की गति के ___ के समानुपाती होती है।

Question

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D: घन घात

Explanation & Concepts:
पवन में उपलब्ध शक्ति को प्रति इकाई समय में अनुप्रस्थ-काट क्षेत्र से गुजरने वाले वायु द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा द्वारा परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से, यह शक्ति पवन के वेग के घन (cube) के समानुपाती होती है, जिसका अर्थ है कि पवन की गति में थोड़ी सी वृद्धि उपलब्ध शक्ति में महत्वपूर्ण वृद्धि लाती है।

Working Principle: पवन शक्ति गतिशील हवा की गतिज ऊर्जा से प्राप्त होती है: $E = \frac{1}{2} m v^2$। चूँकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot{m} = \rho A v$ है (जहाँ $\rho$ वायु घनत्व है, $A$ रोटर द्वारा स्वीप किया गया क्षेत्रफल है, और $v$ पवन का वेग है), शक्ति समीकरण में $\dot{m}$ को प्रतिस्थापित करने पर $P = \frac{1}{2} \rho A v^3$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, शक्ति मौलिक रूप से $v^3$ के समानुपाती होती है।

Key Formulas: $P = \frac{1}{2} \rho A v^3$ — शक्ति समीकरण जहाँ $\rho$ वायु घनत्व है, $A$ स्वीप किया गया क्षेत्रफल है, और $v$ वेग है

Key Points: शक्ति पवन की गति के घन के सीधे समानुपाती होती है ($P \propto v^3$)।; पवन की गति को दोगुना करने से उपलब्ध शक्ति आठ गुना बढ़ जाती है।; वायु घनत्व ($\rho$) भी कुल शक्ति उत्पादन को सीधे प्रभावित करता है।; टर्बाइन ब्लेड का स्वीप क्षेत्रफल ($A$) शक्ति के सीधे समानुपाती होता है।

Advantages: नवीकरणीय और कभी समाप्त न होने वाला ऊर्जा का स्रोत।; स्थापना के बाद कम परिचालन और रखरखाव लागत।

Disadvantages: पवन रुक-रुक कर चलती है और अप्रत्याशित होती है।; कम ऊर्जा घनत्व के कारण पवन फार्मों के लिए बड़े भौगोलिक क्षेत्रों की आवश्यकता होती है।

Applications: उपयोगिता-स्तर पर बिजली उत्पादन।; दूरस्थ क्षेत्रों और जल पंपिंग के लिए ऑफ-ग्रिड बिजली आपूर्ति।

Additional Info: बेट्ज़ सीमा (Betz Limit) बताती है कि कोई भी टर्बाइन पवन की गतिज ऊर्जा के 59.3% से अधिक ऊर्जा प्राप्त नहीं कर सकता।. विकल्प C (वर्ग घात) गलत है क्योंकि यह क्षेत्रफल स्केलिंग से संबंधित है, वेग स्केलिंग से नहीं।

Answer: D सही है — पवन धारा में उपलब्ध शक्ति सीधे पवन के वेग के घन के समानुपाती होती है।

Exam Tip: याद रखें कि द्रव गतिकी में, शक्ति अक्सर वेग का एक घन फलन होती है; यह पवन टर्बाइनों और हाइड्रो-टर्बाइनों दोनों पर लागू होता है।

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Option A: वर्गमूल घात दो

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Option B: वर्गमूल घात तीन

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Option C: वर्ग घात

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