एक ठोस घनाभ के तीन संलग्न फलकों के क्षेत्रफल 260 cm 2, 104 cm 2 और 10 cm 2 हैं। घनाभ का आयतन (cm 3 में) क्या है?

The correct answer is B: 520. घनाभ का आयतन उसकी लंबाई ($l$), चौड़ाई ($b$), और ऊंचाई ($h$) का गुणनफल होता है। यदि संलग्न फलकों के क्षेत्रफल $A_{1} = lb$, $A_{2} = bh$, और $A_{3} = hl$ हैं, तो आयतन $V$ इन तीनों क्षेत्रफलों के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है: $V = \sqrt{A_{1} \cdot A_{2} \cdot A_{3}}$। Step-by-Step Solution & Concepts: घनाभ का आयतन उसकी लंबाई ($l$), चौड़ाई ($b$), और ऊंचाई ($h$) का गुणनफल होता है। यदि संलग्न फलकों के क्षेत्रफल $A_{1} = lb$, $A_{2} = bh$, और $A_{3} = hl$ हैं, तो आयतन $V$ इन तीनों क्षेत्रफलों के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है: $V = \sqrt{A_{1} \cdot A_{2} \cdot A_{3}}$। Working Principle: यह सिद्धांत ज्यामितीय गुणनफल के गुण पर आधारित है। यदि हम तीनों क्षेत्रफलों को आपस में गुणा करें: $(lb) \cdot (bh) \cdot (hl) = l^{2}b^{2}h^{2}$। इस गुणनफल का वर्गमूल लेने पर $\sqrt{l^{2}b^{2}h^{2}} = lbh$ प्राप्त होता है, जो कि एक आयताकार समांतर षट्फलक के आयतन की परिभाषा है। Key Formulas: $V = \sqrt{(lb)(bh)(hl)} = \sqrt{A_{1}A_{2}A_{3}}$ — फलक क्षेत्रफलों से आयतन की गणना; $A = l \cdot w$ — आयत का क्षेत्रफल Key Points: एक घनाभ में तीन जोड़ी सर्वांगसम फलक होते हैं।; संलग्न फलक एक किनारे को साझा करते हैं; तीन अलग-अलग फलक क्षेत्रफलों का गुणनफल आयतन का वर्ग होता है।; यह विधि स्थानिक आयामों पर लागू ज्यामितीय माध्य सिद्धांत से प्राप्त की गई है। Advantages: व्यक्तिगत आयामों $l, b, h$ को जाने बिना आयतन की गणना करने की अनुमति देता है। Disadvantages: केवल समकोण कोनों वाले आयताकार घनाभों पर लागू होता है। Applications: पैकेजिंग इंजीनियरिंग; वास्तुकला और स्थानिक आयतन अनुमान Additional Info: गणना: $V = \sqrt{260 \times 104 \times 10} = \sqrt{270400} = 520$।. विकल्प B वर्गमूल गणना का सही परिणाम है। Answer: B सही है — आयतन उसके तीन संलग्न फलकों के क्षेत्रफलों के गुणनफल के वर्गमूल द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसकी गणना $\sqrt{260 \times 104 \times 10} = 520$ cm$^3$ के रूप में की गई है। Exam Tip: जब भी आप संलग्न फलकों से जुड़ी कोई ज्यामिति समस्या देखते हैं, तो हमेशा क्षेत्रफलों के गुणनफल और आयतन के बीच के संबंध को देखें; यह व्यक्तिगत चरों के लिए हल करने से बचकर समय बचाता है।

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MathematicsMensuration

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एक ठोस घनाभ के तीन संलग्न फलकों के क्षेत्रफल 260 cm², 104 cm² और 10 cm² हैं। घनाभ का आयतन (cm³ में) क्या है?

627

520

524

782

Correct Answer

📐 MA • Math अवधारणा और सिद्धांतMathematicsMensuration

520

Quick Summary:

घनाभ का आयतन उसकी लंबाई ( $l$ ), चौड़ाई ( $b$ ), और ऊंचाई ( $h$ ) का गुणनफल होता है। यदि संलग्न फलकों के क्षेत्रफल $A_{1} = lb$ , $A_{2} = bh$ , और $A_{3} = hl$ हैं, तो आयतन $V$ इन तीनों क्षेत्रफलों के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है: $V = \sqrt{A_{1} \cdot A_{2} \cdot A_{3}}$ ।

🔬SCScience Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

💡 Everyday Analogy (Real-World Intuition)

इसे एक बॉक्स के अंदर की कुल जगह की गणना करने के रूप में सोचें, जिसमें उसके तीन दिखाई देने वाले साइड दृश्यों के आयामों को गुणा किया जाता है, जहाँ अतिव्यापी किनारों की परस्पर क्रिया 3D आंतरिक क्षमता का प्रतिनिधित्व करने के लिए संतुलित हो जाती है।

🧠 Memory Mnemonic / Shortcut Aid

क्षेत्रफल क्षेत्रफल क्षेत्रफल गुणनफल का मूल आयतन है: $V = \sqrt{A_{1}A_{2}A_{3}}$ ।

🔢 Key Formulas

$V = \sqrt{(lb)(bh)(hl)} = \sqrt{A_{1}A_{2}A_{3}}$ — फलक क्षेत्रफलों से आयतन की गणना

$A = l \cdot w$ — आयत का क्षेत्रफल

⚙️ Working Principle

यह सिद्धांत ज्यामितीय गुणनफल के गुण पर आधारित है। यदि हम तीनों क्षेत्रफलों को आपस में गुणा करें: $(lb) \cdot (bh) \cdot (hl) = l^{2}b^{2}h^{2}$ । इस गुणनफल का वर्गमूल लेने पर $\sqrt{l^{2}b^{2}h^{2}} = lbh$ प्राप्त होता है, जो कि एक आयताकार समांतर षट्फलक के आयतन की परिभाषा है।

📌 Key Points

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एक घनाभ में तीन जोड़ी सर्वांगसम फलक होते हैं।
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संलग्न फलक एक किनारे को साझा करते हैं; तीन अलग-अलग फलक क्षेत्रफलों का गुणनफल आयतन का वर्ग होता है।
▸
यह विधि स्थानिक आयामों पर लागू ज्यामितीय माध्य सिद्धांत से प्राप्त की गई है।

✅ Advantages

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व्यक्तिगत आयामों $l, b, h$ को जाने बिना आयतन की गणना करने की अनुमति देता है।

❌ Disadvantages / Limitations

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केवल समकोण कोनों वाले आयताकार घनाभों पर लागू होता है।

🛠️ Applications / Uses

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पैकेजिंग इंजीनियरिंग
▸
वास्तुकला और स्थानिक आयतन अनुमान

📄 Additional Information

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गणना: $V = \sqrt{260 \times 104 \times 10} = \sqrt{270400} = 520$ ।
▸
विकल्प B वर्गमूल गणना का सही परिणाम है।

📊 Diagram / Illustration

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B सही है — आयतन उसके तीन संलग्न फलकों के क्षेत्रफलों के गुणनफल के वर्गमूल द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसकी गणना $\sqrt{260 \times 104 \times 10} = 520$ cm $^3$ के रूप में की गई है।

Core Concepts Used

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ज्यामितीय आयतन स्थानिक ज्यामिति वर्गमूल

💡 EXAM TIP

जब भी आप संलग्न फलकों से जुड़ी कोई ज्यामिति समस्या देखते हैं, तो हमेशा क्षेत्रफलों के गुणनफल और आयतन के बीच के संबंध को देखें; यह व्यक्तिगत चरों के लिए हल करने से बचकर समय बचाता है।

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