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Chapter 1 of 12 • Page 1 of 248🔒 Protected PDF • Watermarked
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एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का योग p सेमी है और इसका विकर्ण q सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (सेमी 2 में) ज्ञात कीजिए।
(p−q)2
p2−q2
2p2−q2
p2+q2
p2−q2
यह पहचानें कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) (l+b+h)2 के विस्तार में मौजूद 2(lb+bh+hl) पद के बराबर है। चूंकि l2+b2+h2=q2 है, इसलिए परिणाम सीधे p2−q2 है।
लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का योग (l+b+h) = p सेमी, और घनाभ का विकर्ण = q सेमी।
(l+b+h)2=l2+b2+h2+2(lb+bh+hl)
यह पहचानें कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) (l+b+h)2 के विस्तार में मौजूद 2(lb+bh+hl) पद के बराबर है। चूंकि l2+b2+h2=q2 है, इसलिए परिणाम सीधे p2−q2 है।
विद्यार्थी अक्सर घनाभ के विकर्ण के सूत्र (q=l2+b2+h2) को विमाओं के योग (p=l+b+h) के साथ भ्रमित कर देते हैं और सर्वसमिका का उपयोग करने के बजाय अलग-अलग चरों का मान निकालने का प्रयास करते हैं।
दिए गए चरों को परिभाषित करें
मान लीजिए लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः l, b और h हैं। योग l+b+h=p के रूप में दिया गया है, और विकर्ण का सूत्र q=l2+b2+h2 है।
l+b+h=p,l2+b2+h2=q2
बीजगणितीय सर्वसमिका लागू करें
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले पद 2(lb+bh+hl) को प्राप्त करने के लिए विमाओं के योग का वर्ग करें।
(l+b+h)2=l2+b2+h2+2(lb+bh+hl)
प्रतिस्थापन करें और हल करें
योग के लिए p और वर्गों के योग के लिए q2 प्रतिस्थापित करें। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb+bh+hl) है।
p2=q2+TSA⟹TSA=p2−q2
B सही है क्योंकि सर्वसमिका (l+b+h)2=l2+b2+h2+2(lb+bh+hl) सरलीकृत होकर सीधे p2=q2+TSA बन जाती है, जिससे TSA=p2−q2 प्राप्त होता है।
यह सर्वसमिका निर्देशांक ज्यामिति (coordinate geometry) और सदिश बीजगणित (vector algebra) में एक मौलिक उपकरण है, जहाँ सदिशों के योग का वर्ग परिमाण उनके अदिश गुणनफल (dot products) पर निर्भर करता है।