2^3 * 3^2 * 5^4 और 2^2 * 3^4 * 5^2 का महत्तम समापवर्तक (GCD) क्या है?

The correct answer is A: 2^2 * 3^2 * 5^2. अभाज्य गुणनखंड रूप में दी गई संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए, गुणनखंडों में मौजूद प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य आधार के लिए सबसे छोटी घात (exponent) का चयन करें। Step-by-Step Solution & Concepts: Shortcut Trick: अभाज्य गुणनखंड रूप में दी गई संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए, गुणनखंडों में मौजूद प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य आधार के लिए सबसे छोटी घात (exponent) का चयन करें। Formula Used: $$\text{GCD}(a^x \cdot b^y \cdot c^z, a^p \cdot b^q \cdot c^r) = a^{\min(x,p)} \cdot b^{\min(y,q)} \cdot c^{\min(z,r)}$$ Given: दो संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडन के रूप میں दी गई हैं: $N_1 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4$ और $N_2 = 2^2 \times 3^4 \times 5^2$। Steps: अभाज्य आधार और घात पहचानें: दोनों संख्याओं में मौजूद अभाज्य आधार $2$, $3$, और $5$ हैं। हम $N_1$ और $N_2$ के लिए उनकी घातों की सूची बनाते हैं।. प्रत्येक आधार के लिए न्यूनतम घात ज्ञात करें: घातों की तुलना करने पर: आधार $2$ के लिए, $\min(3, 2) = 2$। आधार $3$ के लिए, $\min(2, 4) = 2$। आधार $5$ के लिए, $\min(4, 2) = 2$।. GCD की गणना करें: GCD प्राप्त करने के लिए आधारों को उनकी संबंधित न्यूनतम घातों के साथ संयोजित करें। Answer: A सही है क्योंकि GCD प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे कम घातों का गुणनफल लेकर प्राप्त होता है, जिससे $2^2 \times 3^2 \times 5^2$ प्राप्त होता है। Exam Tip: यह विधि चर (variables) वाले बीजीय व्यंजकों का HCF/GCD ज्ञात करने के लिए सीधे लागू होती है, उदा. $x^2y^3$ और $x^3y^2$ का GCD ज्ञात करना।

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2³ * 3² * 5⁴ और 2² * 3⁴ * 5² का महत्तम समापवर्तक (GCD) क्या है?

2² * 3² * 5²

2³ * 3⁴ * 5⁴

2² * 3² * 5⁴

2³ * 3² * 5²

Correct Answer

📐 MA • Math अभाज्य गुणनखंडनMathematicsMathematics

2² * 3² * 5²

Quick Summary:

अभाज्य गुणनखंड रूप में दी गई संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए, गुणनखंडों में मौजूद प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य आधार के लिए सबसे छोटी घात (exponent) का चयन करें।

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📐MAMath Solutionअभाज्य गुणनखंडन

📋 Given

दो संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडन के रूप میں दी गई हैं: $N_1 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4$ और $N_2 = 2^2 \times 3^4 \times 5^2$ ।

🔢 Formula Used

GCD(ax⋅by⋅cz,ap⋅bq⋅cr)=amin⁡(x,p)⋅bmin⁡(y,q)⋅cmin⁡(z,r)\text{GCD}(a^x \cdot b^y \cdot c^z, a^p \cdot b^q \cdot c^r) = a^{\min(x,p)} \cdot b^{\min(y,q)} \cdot c^{\min(z,r)}GCD(ax⋅by⋅cz,ap⋅bq⋅cr)=amin(x,p)⋅bmin(y,q)⋅cmin(z,r)

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर GCD और LCM में भ्रमित हो जाते हैं और न्यूनतम घात के बजाय गलती से अधिकतम घात चुन लेते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

अभाज्य आधार और घात पहचानें

दोनों संख्याओं में मौजूद अभाज्य आधार $2$ , $3$ , और $5$ हैं। हम $N_1$ और $N_2$ के लिए उनकी घातों की सूची बनाते हैं।

N1:23,32,54;N2:22,34,52N_1: 2^3, 3^2, 5^4; \quad N_2: 2^2, 3^4, 5^2N1​:23,32,54;N2​:22,34,52

प्रत्येक आधार के लिए न्यूनतम घात ज्ञात करें

घातों की तुलना करने पर: आधार $2$ के लिए, $\min(3, 2) = 2$ । आधार $3$ के लिए, $\min(2, 4) = 2$ । आधार $5$ के लिए, $\min(4, 2) = 2$ ।

min⁡(3,2)=2,min⁡(2,4)=2,min⁡(4,2)=2\min(3, 2) = 2, \quad \min(2, 4) = 2, \quad \min(4, 2) = 2min(3,2)=2,min(2,4)=2,min(4,2)=2

GCD की गणना करें

GCD प्राप्त करने के लिए आधारों को उनकी संबंधित न्यूनतम घातों के साथ संयोजित करें।

GCD=22×32×52\text{GCD} = 2^2 \times 3^2 \times 5^2GCD=22×32×52

✅

A सही है क्योंकि GCD प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे कम घातों का गुणनफल लेकर प्राप्त होता है, जिससे $2^2 \times 3^2 \times 5^2$ प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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अंकगणित की आधारभूत प्रमेय महत्तम समापवर्तक (GCD) अभाज्य गुणनखंडन

💡 EXAM TIP

यह विधि चर (variables) वाले बीजीय व्यंजकों का HCF/GCD ज्ञात करने के लिए सीधे लागू होती है, उदा. $x^2y^3$ और $x^3y^2$ का GCD ज्ञात करना।

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