निम्नलिखित में से कौन 'कार्य-ऊर्जा प्रमेय' (Work-Energy Theorem) का सही वर्णन करता है?

Question

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The correct answer is B: किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है. कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है कि किसी वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यह सिद्धांत इस पर ध्यान दिए बिना लागू होता है कि बल स्थिर है या परिवर्तनशील।

Step-by-Step Solution & Concepts:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है कि किसी वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यह सिद्धांत इस पर ध्यान दिए बिना लागू होता है कि बल स्थिर है या परिवर्तनशील।

Working Principle: न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, $F_{net} = m \cdot a$ है। $a = \frac{v_f - v_i}{t}$ को प्रतिस्थापित करके और $W = \int F \cdot dx$ का समाकलन करने पर, हम $W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$ प्राप्त करते हैं। यह पुष्टि करता है कि कार्य वस्तु में ऊर्जा स्थानांतरण के लिए एक तंत्र के रूप में कार्य करता है, जो वस्तु की गति में परिवर्तन के रूप में प्रकट होता है।

Key Formulas: $W_{net} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$ — कार्य-ऊर्जा प्रमेय व्यंजक; $W = F \cdot s \cdot \cos(	heta)$ — कार्य की सामान्य परिभाषा

Key Points: यदि गति बढ़ती है तो नेट बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है।; यदि गति घटती है तो नेट बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है (जैसे, ब्रेक लगाना)।; यह प्रमेय रेखीय और वक्रीय दोनों प्रकार की गति के लिए मान्य है।; आंतरिक बल प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तन में योगदान नहीं देते हैं।

Advantages: वेक्टर-आधारित बल-त्वरण गणनाओं के बजाय ऊर्जा अवस्थाओं पर ध्यान केंद्रित करके जटिल समस्याओं को सरल बनाता है।

Disadvantages: यह समय की अवधि या लिए गए पथ के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है।

Applications: ब्रेक बल के आधार पर वाहन की रुकने की दूरी की गणना करना।; घर्षण रहित ढलान से नीचे खिसकती वस्तु के वेग का निर्धारण करना।

Additional Info: यह प्रमेय एक संदर्भ फ्रेम (inertial frames) मानता है जहाँ न्यूटन के नियम मान्य हैं।. विकल्प A संरक्षी बलों के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को संदर्भित करता है, न कि सामान्य कार्य-ऊर्जा प्रमेय को।. विकल्प C गलत है क्योंकि स्थिर वेग पर किया गया कार्य केवल तभी शून्य होता है जब नेट बल शून्य हो; हालाँकि, कार्य सर्वत्र शून्य नहीं होता है।. विकल्प D गलत है क्योंकि कार्य उस क्रिया को करने में लगे समय अंतराल से स्वतंत्र होता है।

Answer: B सही है — कार्य-ऊर्जा प्रमेय स्थापित करता है कि किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के पूर्णतः बराबर होता है।

Exam Tip: हमेशा जांचें कि क्या प्रश्न 'नेट कार्य' के बारे में पूछ रहा है या 'किसी विशिष्ट बल द्वारा कार्य' के बारे में; प्रमेय को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होने के लिए विशेष रूप से 'नेट कार्य' (सभी बलों का योग) की आवश्यकता होती है।

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Option A: किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है

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Option C: स्थिर वेग पर किया गया कार्य शून्य होता है

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Option D: किया गया कार्य लिए गए समय के समानुपाती होता है

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