कथन: सभी पेन पेंसिल हैं। सभी पेंसिल इरेज़र हैं। निष्कर्ष: I. सभी पेन इरेज़र हैं। II. कुछ इरेज़र पेन हैं।

Question

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The correct answer is C: I और II दोनों अनुसरण करते हैं. कथनों को नेस्टेड वृत्तों के रूप में सोचें: पेन, पेंसिल के अंदर हैं, और पेंसिल, इरेज़र के अंदर हैं; इसलिए, पेन के अंदर जो कुछ भी है वह स्वतः ही इरेज़र के अंदर है, और पेन के साथ कोई भी प्रतिच्छेदन इरेज़र के साथ भी एक प्रतिच्छेदन है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: कथनों को नेस्टेड वृत्तों के रूप में सोचें: पेन, पेंसिल के अंदर हैं, और पेंसिल, इरेज़र के अंदर हैं; इसलिए, पेन के अंदर जो कुछ भी है वह स्वतः ही इरेज़र के अंदर है, और पेन के साथ कोई भी प्रतिच्छेदन इरेज़र के साथ भी एक प्रतिच्छेदन है।

Steps: दृश्यीकरण: तीन वृत्त बनाएं जहाँ 'पेन' के लिए वृत्त पूरी तरह से 'पेंसिल' के वृत्त के अंदर हो, और 'पेंसिल' का वृत्त पूरी तरह से 'इरेज़र' के वृत्त के अंदर हो। यह एक नेस्टेड संरचना बनाता है: पेन. निष्कर्ष I का मूल्यांकन: चूंकि पेन का समूह पेंसिल का एक उपसमुच्चय है, और पेंसिल, इरेज़र का एक उपसमुच्चय है, इसलिए संक्रामक गुण (transitive property) द्वारा, पेन का समूह इरेज़र का एक उपसमुच्चय है। अतः, सभी पेन इरेज़र हैं, सत्य है।. निष्कर्ष II का मूल्यांकन: चूंकि सभी पेन इरेज़र हैं, इसका अर्थ है कि पेन द्वारा घेरा गया क्षेत्र इरेज़र के क्षेत्र के भीतर निहित है। इसलिए, पेन समूह का कोई भी हिस्सा इरेज़र समूह का भी हिस्सा है। अतः, कुछ इरेज़र पेन हैं, सत्य है।

Answer: C सही है क्योंकि 'सभी' संबंध की संक्रामक प्रकृति यह सुनिश्चित करती है कि यदि A, B के अंदर है और B, C के अंदर है, तो A पूरी तरह से C के भीतर है, और परिणामस्वरूप, C का एक हिस्सा A को समाहित करना चाहिए।

Why options are wrong: A: गलत है क्योंकि यह अनदेखा करता है कि निष्कर्ष II भी तार्किक रूप से वेन आरेख से अनुसरण करता है। B: गलत है क्योंकि यह अनदेखा करता है कि निष्कर्ष I भी तार्किक रूप से वेन आरेख से अनुसरण करता है। D: गलत है क्योंकि दिए गए कथनों द्वारा दोनों निष्कर्ष तार्किक रूप से समर्थित हैं।

Exam Tip: जब आप सभी कथनों को 'सभी' से शुरू होते हुए देखते हैं, तो याद रखें कि निष्कर्ष नेस्टिंग के सभी स्तरों के लिए सत्य होंगे, लेकिन 'कुछ' रूपांतरणों के साथ सावधान रहें जहां विपरीत हमेशा सत्य नहीं हो सकता है जब तक कि स्पष्ट रूप से जुड़ा न हो।

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Option A: केवल I अनुसरण करता है

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Option B: केवल II अनुसरण करता है

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Option D: न तो I और न ही II अनुसरण करता है

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